कार्य, ऊर्जा और शक्ति
कार्य, यांत्रिक ऊर्जा (गतिज और स्थितिज), कार्य-ऊर्जा प्रमेय, संरक्षी बनाम असंरक्षी बल, शक्ति और टक्करों की परिभाषाओं और गणनाओं को समझें।
1. कार्य: वैज्ञानिक परिभाषा और प्रकार
कार्य को बल के विस्थापन की दिशा में घटक और विस्थापन के परिमाण के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है। गणितीय रूप से:
W = F · s · cos(θ)
जहाँ θ बल सदिश (F) और विस्थापन सदिश (s) के बीच का कोण है।
| कार्य का प्रकार |
शर्त (कोण θ) |
भौतिक अर्थ |
उदाहरण |
| धनात्मक कार्य |
0° ≤ θ < 90° (cos θ धनात्मक है) |
बल विस्थापन में सहायता करता है |
घोड़े द्वारा गाड़ी खींचना, स्प्रिंग खींचना |
| ऋणात्मक कार्य |
90° < θ ≤ 180° (cos θ ऋणात्मक है) |
बल विस्थापन का विरोध करता है |
सरकती हुई वस्तु पर घर्षण बल, कार को रोकने के लिए ब्रेक लगाना |
| शून्य कार्य |
θ = 90° (cos θ = 0) |
बल विस्थापन के लंबवत होता है |
सिर पर बोझ रखकर समतल पर चलता कुली |
2. गतिज और स्थितिज ऊर्जा
ऊर्जा वह मात्रात्मक गुण है जिसे किसी पिंड पर कार्य करने के लिए स्थानांतरित किया जाना चाहिए। मुख्य रूप से यांत्रिक ऊर्जा दो प्रकार की होती है:
| ऊर्जा का प्रकार |
परिभाषा |
सूत्र |
परीक्षा के लिए प्रमुख विशेषताएं |
| गतिज ऊर्जा (KE) |
किसी वस्तु में उसकी गति के कारण निहित ऊर्जा। |
KE = ½mv² = p² / 2m |
हमेशा धनात्मक; निर्देश तंत्र (frame of reference) पर निर्भर; संवेग (p) से संबंधित। |
| स्थितिज ऊर्जा (PE) |
किसी वस्तु में उसकी स्थिति या विन्यास के कारण संचित ऊर्जा। |
PE = mgh (गुरुत्वीय)
PE = ½kx² (स्प्रिंग) |
धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकती है; केवल संरक्षी बलों के लिए परिभाषित। |
गतिज ऊर्जा और संवेग में संबंध:
यदि किसी पिंड का संवेग (p) दोगुना कर दिया जाए, तो उसकी गतिज ऊर्जा 4 गुना बढ़ जाती है (चूँकि स्थिर द्रव्यमान के लिए KE ∝ p²)।
3. कार्य-ऊर्जा प्रमेय और ऊर्जा संरक्षण
कार्य-ऊर्जा प्रमेय: किसी कण पर कार्य करने वाले शुद्ध बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
Wnet = KEf - KEi = ΔKE
यह स्थिर और परिवर्तनशील दोनों बलों, साथ ही संरक्षी और असंरक्षी दोनों बलों के लिए सत्य है.
ऊर्जा संरक्षण का नियम: ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट; इसे केवल एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। एक विलगित निकाय की कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।
गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत मुक्त रूप से गिरते पिंड जैसे संरक्षी निकाय के लिए:
कुल यांत्रिक ऊर्जा (E) = KE + PE = स्थिरांक
4. शक्ति और ऊर्जा के व्यावसायिक मात्रक
शक्ति (Power): कार्य करने या ऊर्जा स्थानांतरित करने की दर। गणितीय रूप से:
P = W / t = F · v
जहाँ F प्रयुक्त बल है और v तात्क्षणिक वेग है।
- SI मात्रक: वाट (W) = 1 जूल/सेकंड।
- विमीय सूत्र: [ML²T⁻³]
- 1 अश्व शक्ति (HP) = 746 वाट।
ऊर्जा का व्यावसायिक मात्रक:
विद्युत ऊर्जा का मानक व्यावसायिक मात्रक किलोवाट-घंटा (kWh) है, जिसे सामान्यतः 'यूनिट' कहा जाता है।
1 kWh = 1000 W × 3600 s = 3.6 × 106 J = 3.6 MJ
5. टक्कर और प्रत्यावस्थान गुणांक
टक्कर दो पिंडों के बीच एक अल्पकालिक अन्योन्यक्रिया है, जो उनके संवेग और ऊर्जा को बदल देती है। टक्करों का वर्गीकरण इस प्रकार है:
- प्रत्यास्थ टक्कर (Elastic Collision): कुल रैखिक संवेग और कुल गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं। टकराने वाले पिंड संपर्क के बाद अलग हो जाते हैं (जैसे गति के अणुओं के बीच टक्कर)।
- अप्रत्यास्थ टक्कर (Inelastic Collision): रैखिक संवेग संरक्षित रहता, लेकिन गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती (यह ऊष्मा, ध्वनि आदि में परिवर्तित हो जाती है)।
- पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर: टकराने वाले पिंड आपस में चिपक जाते हैं और टक्कर के बाद एक उभयनिष्ठ वेग से गति करते हैं (गतिज ऊर्जा की अधिकतम हानि होती है)।
प्रत्यावस्थान गुणांक (Coefficient of Restitution - e):
यह टक्कर के बाद दूर जाने के आपेक्षिक वेग और पास आने के आपेक्षिक वेग का अनुपात है।
e = (v₂ - v₁) / (u₁ - u₂)
- पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर के लिए: e = 1
- पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए: e = 0
- सामान्य अप्रत्यास्थ टक्कर के लिए: 0 < e < 1
ऊर्जा और कार्य का ऐतिहासिक विकास
- 1686 — विज़ वीवा (Vis Viva) की अवधारणा: गॉटफ्रीड लीबनिज ने 'विज़ वीवा' (सजीव बल) का प्रस्ताव रखा, जो गतिज ऊर्जा की mv² के रूप में प्रारंभिक प्रस्तुति थी।
- 1807 — शब्द 'ऊर्जा' (Energy) का परिचय: थॉमस यंग ने सबसे पहले 'एनर्जी' शब्द का प्रयोग आधुनिक वैज्ञानिक संदर्भ में किया, जिसने पुराने शब्दों का स्थान लिया।
- 1843 — ऊष्मा का यांत्रिक तुल्यांक: जेम्स प्रेस्कॉट जूल ने प्रयोगात्मक रूप से ऊर्जा संरक्षण का प्रदर्शन किया और ऊष्मा के यांत्रिक तुल्यांक का निर्धारण किया।
- 1905 — द्रव्यमान-ऊर्जा समतुल्यता: अल्बर्ट आइंस्टीन ने E = mc² प्रकाशित किया, जिससे यह सिद्ध हुआ कि द्रव्यमान और ऊर्जा परस्पर विनिमेय और एकीकृत हैं।
Key Questions & Answers
- जब बल और विस्थापन लंबवत हों तो किया गया कार्य कितना होता है?
- **शून्य** (W = Fs cos 90° = 0)। उदाहरण: पृथ्वी की परिक्रमा करता उपग्रह।
- कार्य-ऊर्जा प्रमेय बताएं।
- किसी पिंड पर सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य उसकी **गतिज ऊर्जा में परिवर्तन** के बराबर होता है (W_net = ΔKE)।
- संरक्षी और असंरक्षी बलों में क्या अंतर है?
- **संरक्षी बल**: किया गया कार्य पथ पर निर्भर नहीं करता (केवल प्रारंभिक/अंतिम बिंदुओं पर निर्भर करता है; जैसे गुरुत्वाकर्षण)। **असंरक्षी बल**: किया गया कार्य पथ पर निर्भर करता है (जैसे घर्षण)।
- 1 हॉर्स पावर (HP) का मान वाट में बताएं।
- **1 HP = 746 वाट** (मशीनरी में प्रयुक्त मानक इकाई)।
Memory Aids
- स्मृति सूत्र 1: कार्य के प्रकार (कोण ट्रिक): बल और विस्थापन के बीच का कोण कार्य का निर्धारण करता है: • **P (धनात्मक)**: θ • **N (ऋणात्मक)**: θ > 90° (अधिककोण, जैसे घर्षण बल)। • **Z (शून्य)**: θ = 90° (लंबवत, जैसे सिर पर बोझ लेकर चलता हुआ कुली)।
- स्मृति सूत्र 2: संरक्षी बल (Conservative Forces): पथ-स्वतंत्र (संरक्षी) बल: • **G** — गुरुत्वाकर्षण बल • **E** — स्थिरवैद्युत बल • **S** — स्प्रिंग बल नोट: घर्षण बल असंरक्षी (पथ-निर्भर) बल होता है।
- स्मृति सूत्र 3: ऊर्जा के व्यावसायिक मात्रक का परिवर्तन: याद रखें कि **1 kWh** (विद्युत की 1 यूनिट) = **3.6 × 10^6 जूल** (या 3.6 मेगाजूल) होता है।
Common Exam Traps
- भ्रम 1: यह मानना कि किसी भारी वस्तु को बिना हिलाए पकड़ कर रखने पर कार्य किया गया है। यदि विस्थापन शून्य है, तो वैज्ञानिक रूप से किया गया कार्य शून्य होता है, भले ही शारीरिक थकान हो।
- भ्रम 2: शक्ति (Power) और ऊर्जा (Energy) में भ्रमित होना। ऊर्जा कार्य करने की क्षमता है (जूल में मापी जाती है), जबकि शक्ति कार्य करने की दर है (वाट या जूल/सेकंड में मापी जाती है)।
- भ्रम 3: यह भूल जाना कि स्थितिज ऊर्जा केवल संरक्षी बलों के लिए परिभाषित होती है। आप घर्षण के लिए स्थितिज ऊर्जा फलन को परिभाषित नहीं कर सकते।
- भ्रम 4: यह मानना कि सभी टक्करों में गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है। संवेग सभी टक्करों में संरक्षित रहता है, लेकिन गतिज ऊर्जा केवल पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्करों में ही संरक्षित रहती है।