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Complete 5-Tab SSC CGL Guide: Theory, Shortcuts, Practice MCQs, PYQs & Revision Notes.

Comprehensive Theory & Basics: Circleव्यापक सिद्धांत और मूल बातें: वृत्त (Circle)

Quick Overviewत्वरित अवलोकन

A circle is a fundamental geometric figure defined as the locus of all points in a plane that are at a constant distance (radius) from a fixed point (center). In SSC CGL Mathematics, circle properties, tangents, secants, and cyclic quadrilaterals form the core of Geometry questions, often carrying significant weightage in Tier-1 and Tier-2 exams.

वृत्त एक मौलिक ज्यामितीय आकृति है जिसे एक तल में उन सभी बिंदुओं के बिंदुपथ के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से एक अचर दूरी (त्रिज्या) पर होते हैं। SSC CGL गणित में, वृत्त के गुण, स्पर्श रेखाएं, छेदक रेखाएं और चक्रीय चतुर्भुज ज्यामिति के प्रश्नों का केंद्र बनाते हैं, जो अक्सर टियर-1 और टियर-2 परीक्षाओं में महत्वपूर्ण वेटेज रखते हैं।

Learning Objectivesसीखने के उद्देश्य

Master fundamental definitions and terminology related to circles.वृत्तों से संबंधित मूलभूत परिभाषाओं और शब्दावली में महारत हासिल करना।
Understand and apply major circle theorems in complex geometrical problems.जटिल ज्यामितीय समस्याओं में प्रमुख वृत्त प्रमेयों को समझना और लागू करना।
Analyze properties of tangents, secants, and alternate segment theorem.स्पर्श ��ेखाओं, छेदक रेखाओं और एकांतर वृत्तखंड प्रमेय के गुणों का विश्लेषण करना।
Solve previous years' questions efficiently using advanced conceptual insights.उन्नत वैचारिक अंतर्दृष्टि का उपयोग करके पिछले वर्षों के प्रश्नों को कुशलतापूर्वक हल करना।

Concept Introductionअवधारणा परिचय

Geometry in SSC CGL requires a robust grasp of circles. A circle is completely determined by its center $O$ and radius $r$. The boundary of a circle is called its circumference. Understanding how chords, arcs, angles, and tangents interact is essential for cracking high-difficulty questions.

SSC CGL में ज्यामिति के लिए वृत्तों की मजबूत समझ की आवश्यकता होती है। एक वृत्त पूरी तरह से उसके केंद्र $O$ और त्रिज्या $r$ द्वारा निर्धारित होता है। वृत्त की परिधि को उसकी परिधि (Circumference) कहा जाता है। उच्च कठिनाائی वाले प्रश्नों को हल करने के लिए यह समझना आवश्यक है कि जीवाएं, चाप, कोण और स्पर्श रेखाएं कैसे परस्पर क्रिया करती हैं।

Real-Life Applicationsवास्तविक जीवन के अनुप्रयोग

Circles appear everywhere in engineering and daily life, from wheels and gears to satellite orbits and radar navigation systems. In competitive exams, concepts of tangents and secants are modeled on real-world pulley systems and circular tracks.

पहियों और गियर से लेकर उपग्रह की कक्षाओं और रडार नेविगेशन प्रणालियों तक, इंजीनियरिंग और दैनिक जीवन में वृत्त हर जगह दिखाई देते हैं। प्रतियोगी परीक्षाओं में, स्पर्श रेखाओं और छेदक रेखाओं की अवधारणाओं को वास्तविक दुनिया की घ ily (pulley) प्रणालियों और गोलाकार पटरियों पर तैयार किया जाता है।

Definitionsपरिभाषाएँ

Chord: A line segment joining any two points on the circumference of a circle.जीवा (Chord): वृत्त की परिधि पर किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड।
Secant: A line that intersects a circle at two distinct points.छेदक रेखा (Secant): एक रेखा जो एक वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है।
Tangent: A line that touches a circle at exactly one point, known as the point of contact.स्पर्श रेखा (Tangent): एक रेखा जो एक वृत्त को ठीक एक बिंदु पर छूती है, जिसे स्पर्श बिंदु कहा जाता है।

Important Terms Tableमहत्वपूर्ण शब्दावली तालिका

Termशब्द	Descriptionविवरण
Diameterव्यास	Longest chord passing through the center ($d = 2r$).केंद्र से गुजरने वाली सबसे लंबी जीवा ($d = 2r$)।
Arcचाप	A continuous piece of the circle's circumference.वृत्त की परिधि का एक सतत टुकड़ा।
Segmentवृत्तखंड	Region bounded by a chord and an arc.जीवा और चाप से घिरा क्षेत्र।
Sectorत्रिज्यखंड	Region bounded by two radii and an arc.दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरा क्षेत्र।

Formula Sheet Tableसूत्र तालिका

Property / Formulaगुण / सूत्र	Mathematical Expressionगणितीय अभिव्यक्ति
Area of Circleवृत्त का क्षेत्रफल	$\pi r^2$
Circumferenceपरिधि	$2\pi r$
Length of Arcचाप की लंबाई	$\frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$
Area of Sectorत्रिज्यखंड का क्षेत्रफल	$\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$
Tangent-Secant Theoremस्पर्श रेखा-छेदक प्रमेय	$PT^2 = PA \times PB$

Derivationsव्युत्पत्ति (Derivations)

Perpendicular from Center to Chord: Let $AB$ be a chord of a circle with center $O$. If $OM \perp AB$, then $AM = MB$. Proof: Join $OA$ and $OB$. In $\triangle OMA$ and $\triangle OMB$, $OA = OB$ (radii), $OM = OM$ (common), and $\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$. By RHS congruence criterion, $\triangle OMA \cong \triangle OMB$, hence $AM = MB$.

केंद्र से जीवा पर लंब: मान लीजिए $AB$ केंद्र $O$ वाले वृत्त की एक जीवा है। यदि $OM \perp AB$, तो $AM = MB$ होत�� है। उपपत्ति: $OA$ और $OB$ को मिलाइए। $\triangle OMA$ और $\triangle OMB$ में, $OA = OB$ (त्रिज्याएँ), $OM = OM$ (उभयनिष्ठ), और $\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$। RHS सर्वांगसमता कसौटी द्वारा, $\triangle OMA \cong \triangle OMB$, अतः $AM = MB$।

Common Mistakesसामान्य गलतियाँ

Confusing secant length products with chord intersection formulas. Remember for two intersecting chords $AB$ and $CD$ inside a circle, $PA \times PB = PC \times PD$.छेदक लंबाई के उत्पादों को जीवा प्रतिच्छेदन सूत्रों के साथ भ्रमित करना। याद रखें कि वृत्त के अंदर प्रतिच्छेद करने वाली दो जीवाओं $AB$ और $CD$ के लिए, $PA \times PB = PC \times PD$ होता है।
Forgetting that the radius is always perpendicular to the tangent at the point of contact.यह भूल जाना कि त्रिज्या हमेशा स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है।

Shortcuts & Topper Tricksशॉर्टकट और टॉपर ट्रिक्स

Advanced Problem Solving Shortcutsउन्नत समस्या समाधान शॉर्टकट

Direct Common Tangent (DCT) Length: For two circles with radii $R$ and $r$ separated by distance $d$ between centers, $\text{DCT} = \sqrt{d^2 - (R - r)^2}$. प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा (DCT) की लंबाई: केंद्र के बीच की दूरी $d$ वाले $R$ और $r$ त्रिज्या के दो वृत्तों के लिए, $\text{DCT} = \sqrt{d^2 - (R - r)^2}$।
Transverse Common Tangent (TCT) Length: $\text{TCT} = \sqrt{d^2 - (R + r)^2}$. तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा (TCT) की लंबाई: $\text{TCT} = \sqrt{d^2 - (R + r)^2}$।
Intersecting Chords Theorem: If chords $AB$ and $CD$ intersect at $P$ internally or externally, $PA \times PB = PC \times PD$. प्रतिच्छeदी जीवा प्रमेय: यदि जीवाएँ $AB$ और $CD$ आंतरिक या बाह्य रूप से $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो $PA \times PB = PC \times PD$।
Angle in Alternate Segment: The angle between a tangent and a chord through the contact point is equal to the angle subtended by the chord in the alternate segment. ($\theta = \theta$). एकांतर वृत्तखंड में कोण: स्पर्श बिंदु से गुजरने वाली स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण, एकांतर वृत्तखंड में जीवा ��्वारा अंतरित कोण के बराबर होता है। ($\theta = \theta$)।

Mental Calculation Hacksमानसिक गणना हैक्स

When dealing with cyclic quadrilaterals where opposite angles sum to $180^\circ$, directly use ratio proportions instead of setting up long algebraic equations. Memorize Pythagorean triplets ($3,4,5$, $5,12,13$, $7,24,25$, $8,15,17$) to instantly find chord lengths using perpendicular distance from the center.

चक्रीय चतुर्भुजों से निपटते समय जहाँ विपरीत कोणों का योग $180^\circ$ होता है, लंबे बीजगणितीय समीकरणों को स्थापित करने के बजाय सीधे अनुपात अनुपातों का उपयोग करें। केंद्र ��े लंबवत दूरी का उपयोग करके तुरंत जीवा की लंबाई ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस त्रिक ($3,4,5$, $5,12,13$, $7,24,25$, $8,15,17$) को याद रखें।

Revision Notes & 15 SEO FAQsसंशोधन नोट्स और 15 SEO अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

1-Page Revision Notes1-पेज संशोधन नोट्स

Circles in SSC CGL require thorough command over chord properties, tangent-secant relationships, and cyclic figures. Always check for alternate segment angles and perpendicular bisectors of chords to simplify complex diagrams quickly.

SSC CGL में वृत्तों के लिए जीवा गुणों, स्पर्श-छेदक संबंधों और चक्रीय आकृतियों पर पूरी पकड़ की आव��्यकता होती है। जटिल आरेखों को जल्दी से सरल बनाने के लिए हमेशा एकांतर वृत्तखंड कोणों और जीवाओं के लंब समद्विभाजकों की जाँच करें।

One Minute Revision Bulletsएक मिनट संशोधन बुलेट

Tangent $\perp$ Radius at point of contact.स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा $\perp$ त्रिज्या।
Equal chords subtend equal angles at center.समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण बनाती हैं।
Opposite angles of cyclic quadrilateral sum to $180^\circ$.चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग $180^\circ$ होता है।
Angle in semicircle is $90^\circ$.अर्धवृत्त में कोण $90^\circ$ होता है।

Conceptual Interview Style Questionsवैचारिक साक्षात्कार शैली के प्रश्न

Q: What happens to the length of tangents drawn from an external point if the point moves closer to the circle?
Ans: The length of the tangents decreases proportionally as the distance from the center decreases, until it becomes zero when the point lies on the circle.

प्र: यदि कोई बाह्य बिंदु वृत्त के करीब आता है तो उससे खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई का क्या होता है?
उत्��र: केंद्र से दूरी कम होने पर स्पर्श रेखाओं की लंबाई आनुपातिक रूप से कम हो जाती है, जब तक कि बिंदु वृत्त पर स्थित होने पर यह शून्य न हो जाए।

Frequently Asked Questionsअक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

Q1: How to prepare Circles for SSC CGL?Q1: SSC CGL के लिए वृत्तों की तैयारी कैसे करें?
Focus on core theorems, practice previous year questions, and memorize standard Pythagorean triplets.मुख्�� प्रमेयों पर ध्यान दें, पिछले वर्ष के प्रश्नों का अभ्यास करें, और मानक पाइथागोरस त्रिक याद रखें।
Q2: What is the most important circle theorem for SSC?Q2: SSC के लिए सबसे महत्वपूर्ण वृत्त प्रमेय कौन सा है?
Alternate Segment Theorem and Tangent-Secant theorem frequently appear in Tier-2 exams.टियर-2 परीक्षाओं में एकांतर वृत्तखंड प्रमेय और स्पर्श-छेदक प्रमेय अक्सर आते हैं।
Q3: How many common tangents do two intersecting circles have?Q3: दो प्रतिच्छेदी वृत्तों की कितनी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ होती हैं?
Two intersecting circles have exactly 2 common tangents (Direct Common Tangents).दो प्रतिच्छेदी वृत्तों की ठीक 2 उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ (प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ) होती हैं।
Q4: What is the formula for the circumference of a circle?Q4: वृत्त की परिधि का सूत्र क्या है?
The circumference is given by $2\pi r$ where $r$ is the radius.परिधि $2\pi r$ द्वारा दी जाती है जहाँ $r$ त्रिज्या है।
Q5: Can a rectangle be a cyclic quadrilateral?Q5: क्या एक आयत चक्रीय चतुर्भुज हो सकता है?
Yes, all rectangles are cyclic quadrilaterals because their opposite angles are $90^\circ$ each (summing to $180^\circ$).हाँ, सभी आयत चक्रीय चतुर्भुज होते हैं क्योंकि उनके सम्मुख कोण प्रत्येक $90^\circ$ होते हैं (योग $180^\circ$ होता है)।
Q6: What is a secant line?Q6: छेदक रेखा क्या है?
A line that intersects a circle at two distinct points.एक रेखा जो एक वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है।
Q7: How to find the radius of a circle inscribed in a triangle?Q7: त्रिभुज में अंतःस्थापित वृत्त की त्रिज्या कैसे ज्ञात करें?
Use the formula $r = \frac{\Delta}{s}$, where $\Delta$ is area and $s$ is semi-perimeter.सूत्र $r = \frac{\Delta}{s}$ का उपयोग करें, जहाँ $\Delta$ क्षेत्रफल है और $s$ अर्ध-परिमाप है।
Q8: What is the angle subtended by a diameter at the circumference?Q8: परिधि पर व्यास द्वारा अंतरित कोण क्या है?
It is always a right angle ($90^\circ$).यह हमेशा एक समकोण ($90^\circ$) होता है।
Q9: Are tangents drawn from an external point equal?Q9: क्या बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती है��?
Yes, tangents from an external point to a circle are equal in length.हाँ, बाह्य बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ लंबाई में समान होती हैं।
Q10: What is the area formula of a circle?Q10: वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र क्या है?
Area = $\pi r^2$.क्षेत्रफल = $\pi r^2$।
Q11: What is a tangent to a circle?Q11: वृत्त की स्पर्�� रेखा क्या है?
A line that touches the circle at only one point.एक रेखा जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती है।
Q12: How many tangents can be drawn parallel to a secant?Q12: छेदक रेखा के समानांतर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
At most two tangents can be parallel to a given secant.दी गई छेदक रेखा के समानांतर अधिकतम दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
Q13: What is the relation between central angle and inscribed angle?Q13: केंद्रीय कोण और अंतःस्थ कोण के बीच क्या संबंध है?
The central angle is twice the inscribed angle subtended by the same arc.केंद्रीय कोण उसी चाप द्वारा अंतरित अंतःस्थ कोण का दोगुना होता है।
Q14: What is the power of a point outside a circle?Q14: वृत्त के बाहर एक बिंदु की शक्ति क्या है?
It equals $PT^2 = PA \times PB$ for a tangent and secant.यह स्पर्श रेखा और छेदक रेखा के लिए $PT^2 = PA \times PB$ के बराबर है।
Q15: Why is SJMaths best for SSC CGL preparation?Q15: SJMaths SSC CGL की तैयारी के लिए सबसे अच्छा क्यों है?
SJMaths provides bilingual, concept-driven, and topper-tested shortcuts specifically tailored for SSC exams.SJMaths विशेष रूप से SSC परीक्षाओं के लिए तैयार की गई द्विभाषी, अवधारणा-संचालित और टॉपर-परीक्षित शॉर्टकट प्रदान करता है।

Internal Links & External Referencesआंतरिक लिंक और बाहरी संदर्भ

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Conclusionनिष्कर्ष

Consistent practice and clear visualization of circle theorems will ensure high accuracy in SSC CGL Mathematics. Keep practicing with SJMaths!

निरंतर अभ्यास और वृत्त प्रमेयों की स्पष्ट ��ल्पना SSC CGL गणित में उच्च सटीकता सुनिश्चित करेगी। SJMaths के साथ अभ्यास करते रहें!

Revision Notes & 15 SEO FAQsसंशोधन नोट्स और 15 SEO अक्सर पूछे جانے वाले प्रश्न

1-Page Revision Notes1-पेज संशोधन नोट्स

Circles form the backbone of SSC CGL Geometry. Key takeaways: (1) Angle subtended by an arc at the center is double the angle subtended at any point on the remaining circumference. (2) Angle in a semicircle is a right angle ($90^\circ$). (3) Tangents drawn from an external point to a circle are equal in length. (4) Opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary.

वृत्त SSC CGL ज्यामिति की रीढ़ बनाते हैं। मुख्य बातें: (1) केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण शेष परिधि पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है। (2) अर्धवृत्त में बना कोण समकोण ($90^\circ$) होता है। (3) किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है। (4) चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं।

One Minute Revision Bulletsएक मिनट संशोधन बुलेट

Equal chords are equidistant from the center.समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।
Perpendicular from center bisects the chord.केंद्र से डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
Number of tangents from an internal point is 0, from on the circle is 1, and from an external point is 2.आंतरिक बिंदु से स्पर्श रेखाओं की संख्या 0, वृत्त पर 1, और बाह्य बिंदु से 2 होती है।
The angle between radius and tangent is $90^\circ$.त्रिज्या और स्पर्श ��ेखा के बीच का कोण $90^\circ$ होता है।

Conceptual Interview Style Questionsवैचारिक साक्षात्कार शैली के प्रश्न

Q: Can two circles intersect at more than two points?
Ans: No, two distinct circles can intersect at a maximum of two points. If they intersect at three points, they must coincide.

प्र: क्या दो वृत्त दो से अधिक बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकते हैं?
उत्तर: नहीं, दो अलग-अलग वृत्त अधिकतम दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकते हैं। यदि ��े तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो उन्हें संपाती (coincide) होना चाहिए।

Frequently Asked Questionsअक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

Q1: What is a circle in geometry?Q1: ज्यामिति में वृत्त क्या है?
A circle is the locus of a point moving in a plane such that its distance from a fixed point (center) remains constant.वृत्त एक तल में गतिमान बिंदु का बिंदुपथ है ताकि एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से उसकी द��री स्थिर रहे।
Q2: How many tangents can be drawn from an external point to a circle?Q2: किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
Exactly two tangents of equal length can be drawn from an external point.किसी बाह्य बिंदु से समान लंबाई की ठीक दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
Q3: What is the angle in a semicircle theorem?Q3: अर्धवृत्त में कोण प्रमेय क्या है?
The angle subtended by a diameter at any point on the circumference is always a right angle ($90^\circ$).परिधि पर किसी भी बिंदु पर व्यास द्वारा अंतरित कोण हमेशा एक समकोण ($90^\circ$) होता है।
Q4: What is a cyclic quadrilateral?Q4: चक्रीय चतुर्भुज क्या है?
A quadrilateral whose all four vertices lie on the circumference of a circle.एक चतुर्भुज जिसके चारों शीर्ष वृत्त की परिधि पर स्थित होते हैं।
Q5: What is the sum of opposite angles in a cyclic quadrilateral?Q5: चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग क्या होता है?
The sum of opposite angles is supplementary ($180^\circ$).सम्मुख कोणों का योग संपूरक ($180^\circ$) होता है।
Q6: How do you find the length of a direct common tangent?Q6: प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई कैसे ज्ञात करें?
Use the formula $\text{DCT} = \sqrt{d^2 - (R - r)^2}$.सूत्र $\text{DCT} = \sqrt{d^2 - (R - r)^2}$ का उपयोग करें।
Q7: What is the relationship between radius and tangent?Q7: त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच क्या संबंध है?
The radius at the point of contact is perpendicular to the tangent ($90^\circ$).स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा के लंबवत ($90^\circ$) होती है।
Q8: What is a chord of a circle?Q8: वृत्त की जीवा क्या है?
A line segment with both endpoints on the circumference of the circle.एक रेखाखंड जिसके दोनों अंत बिंदु वृत्त की परिधि पर होते हैं।
Q9: Which is the longest chord of a circle?Q9: वृत्त की सबसे लंबी जीवा कौन सी है?
The diameter is the longest chord of a circle.व्यास वृत्त की सबसे लंबी जीवा होती है।
Q10: What is the alternate segment theorem?Q10: एकांतर वृत्तखंड प्रमेय क्या है?
Angle between tangent and chord equals angle subtended by chord in alternate segment.स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण एकांतर वृत्तखंड में जीवा द्वारा अंतरित कोण के बराबर होता है।
Q11: How many common tangents can two non-intersecting circles have?Q11: दो गैर-प्रतिच्छेदी वृत्तों की कितनी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
A maximum of 4 common tangents (2 direct and 2 transverse).अधिकतम 4 उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ (2 प्रत्यक्ष और 2 तिर्यक)।
Q12: What is the formula for the area of a sector?Q12: त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र क्या है?
Area = $\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$.क्षेत्रफल = $\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$।
Q13: Why are circle properties important for SSC CGL?Q13: SSC CGL के लिए वृत्त के गुण क्यों महत्वपूर्ण हैं?
Because 2-3 direct geometry questions appear in Tier-1 and Tier-2 exams.क्योंकि टियर-1 और टियर-2 परीक्षाओं में 2-3 प्रत्यक्ष ज्यामिति प्रश्न आते हैं।
Q14: What is the power of a point theorem?Q14: बिंदु की शक्ति (Power of a Point) प्रमेय क्या है?
For intersecting chords $AB$ and $CD$ at $P$, $PA \times PB = PC \times PD$.प्रतिच्छेद करने वाली जीवाओं $AB$ और $CD$ के लिए $P$ पर, $PA \times PB = PC \times PD$ होता है।
Q15: Can a circle pass through three collinear points?Q15: क्या एक वृत्त तीन संरेख बिंदुओं से गुजर सकता है?
No, a unique circle can only pass through three non-collinear points.नहीं, एक अद्वितीय वृत्त केवल तीन असंरेख बिंदुओं से गुजर सकता है।

Internal Links & External Referencesआंतरिक लिंक और बाहरी संदर्भ

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Conclusionनिष्कर्ष

Mastering circles requires consistent practice of theorems, visualizing diagrams accurately, and applying shortcuts smartly under time constraints. Keep revising these core concepts to secure top marks in SSC CGL.

वृत्तों में महारत हासिल करने के लिए प्रमेयों के निरंतर अभ्यास, आरेखों की सटीक कल्पना और समय सीमा के तहत चतुराई से शॉर्टकट लागू करने की आवश्यकता है। SSC CGL में शीर्ष अंक सुरक्षित करने के लिए इन मूल अवधारणाओं को संशोधित करते रहें।

Solved Practice MCQsहल किए गए अभ्यास MCQ

Q1. If the radius of a circle is $10\text{ cm}$ and the length of a chord is $16\text{ cm}$, find the distance of the chord from the center.

Q1. यदि किसी वृत्त की त्रिज्या $10\text{ cm}$ है और एक जीवा की लंबाई $16\text{ cm}$ है, तो केंद्र से जीवा की दूरी ज्ञात कीजिए।

(A) $5\text{ cm}$(A) $5\text{ cm}$

(B) $6\text{ cm}$(B) $6\text{ cm}$

(D) $12\text{ cm}$(D) $12\text{ cm}$

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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: Perpendicular from the center bisects the chord. Half-chord length = $16 / 2 = 8\text{ cm}$. Using Pythagorean theorem, $\text{Distance} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\text{ cm}$.

चरण-दर-चरण हल: केंद्र से लंब जीवा को सम��्विभाजित करता है। आधी जीवा की लंबाई = $16 / 2 = 8\text{ cm}$। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, $\text{दूरी} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\text{ cm}$।

Topper's Shortcut: Recognize the $6-8-10$ Pythagorean triplet instantly!

टॉपर शॉर्टकट: $6-8-10$ पाइथागोरस त्रिक को तुरंत पहचानें!

Q2. From a point $P$, $10\text{ cm}$ away from the center of a circle, a tangent $PT$ of length $8\text{ cm}$ is drawn. Find the radius of the circle.

Q2. एक वृत्त के केंद्र से $10\text{ cm}$ की दूरी पर स्थित बिंदु $P$ से, लंबाई $8\text{ cm}$ की एक स्पर्श रेखा $PT$ खींची जाती है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

(A) $5\text{ cm}$(A) $5\text{ cm}$

(B) $6\text{ cm}$(B) $6\text{ cm}$

(D) $7\text{ cm}$(D) $7\text{ cm}$

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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: Radius $OT \perp PT$. In right $\triangle OTP$, $OP^2 = OT^2 + PT^2 \implies 10^2 = r^2 + 8^2 \implies 100 = r^2 + 64 \implies r^2 = 36 \implies r = 6\text{ cm}$.

चरण-दर-चरण हल: त्रिज्या $OT \perp PT$ है। समकोण $\triangle OTP$ में, $OP^2 = OT^2 + PT^2 \implies 10^2 = r^2 + 8^2 \implies 100 = r^2 + 64 \implies r^2 = 36 \implies r = 6\text{ cm}$।

Topper's Shortcut: Again, apply the classic $6-8-10$ triplet directly.

टॉपर शॉर्टकट: फिर से, क्लासिक $6-8-10$ त्रिक को सीधे लागू करें।

Q3. If $ABCD$ is a cyclic quadrilateral with $\angle A = 70^\circ$, find $\angle C$.

Q3. यदि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें $\angle A = 70^\circ$ है, तो $\angle C$ ज्ञात कीजिए।

(A) $110^\circ$(A) $110^\circ$

(B) $70^\circ$(B) $70^\circ$

(D) $100^\circ$(D) $100^\circ$

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary. Therefore, $\angle A + \angle C = 180^\circ \implies 70^\circ + \angle C = 180^\circ \implies \angle C = 110^\circ$.

चरण-दर-चरण हल: चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं। इसलिए, $\angle A + \angle C = 180^\circ \implies 70^\circ + \angle C = 180^\circ \implies \angle C = 110^\circ$।

Topper's Shortcut: $\angle C = 180^\circ - \text{given angle} = 180 - 70 = 110^\circ$. Mental math!

टॉपर शॉर्टकट: $\angle C = 180^\circ - \text{दिया गया कोण} = 180 - 70 = 110^\circ$। मानसिक गणित!

Q4. Two circles of radii $5\text{ cm}$ and $3\text{ cm}$ have centers $10\text{ cm}$ apart. Find the length of their Direct Common Tangent.

Q4. $5\text{ cm}$ और $3\text{ cm}$ त्रिज्या वाले दो वृत्तों के केंद्र $10\text{ cm}$ की दूरी पर हैं। उनकी प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

(A) $\sqrt{84}\text{ cm}$(A) $\sqrt{84}\text{ cm}$

(B) $\sqrt{91}\text{ cm}$(B) $\sqrt{91}\text{ cm}$

(D) $\sqrt{96}\text{ cm}$(D) $\sqrt{96}\text{ cm}$

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Correct Option: (D)सही विकल्प: (D)

Step-by-Step Solution: $\text{DCT} = \sqrt{d^2 - (R - r)^2} = \sqrt{10^2 - (5 - 3)^2} = \sqrt{100 - 2^2} = \sqrt{100 - 4} = \sqrt{96}\text{ cm}$.

चरण-दर-चरण हल: $\text{DCT} = \sqrt{d^2 - (R - r)^2} = \sqrt{10^2 - (5 - 3)^2} = \sqrt{100 - 2^2} = \sqrt{100 - 4} = \sqrt{96}\text{ cm}$।

Topper's Shortcut: Substitute directly into $\sqrt{d^2 - (\Delta R)^2}$ within 5 seconds.

टॉपर शॉर्टकट: 5 सेकंड के भीतर सीधे $\sqrt{d^2 - (\Delta R)^2}$ में मान रखें।

Q5. An angle inscribed in a semicircle is equal to:

Q5. अर्धवृत्त में बना कोण किसके बराबर होता है:

(A) $45^\circ$(A) $45^\circ$

(B) $60^\circ$(B) $60^\circ$

(D) $180^\circ$(D) $180^\circ$

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Correct Option: (C)सही विकल्प: (C)

Step-by-Step Solution: By standard circle theorem, the angle subtended by the diameter at any point on the circumference is a right angle ($90^\circ$).

चरण-दर-चरण हल: मानक वृत्त प्रमेय द्वारा, परिधि पर किसी भी बिंदु पर व्यास द्वारा अंतरित कोण समकोण ($90^\circ$) होता है।

Topper's Shortcut: Direct theorem recall; no calculation needed.

टॉपर श��र्टकट: प्रत्यक्ष प्रमेय स्मरण; किसी गणना की आवश्यकता नहीं है।

Q6. In a circle, two chords $AB$ and $CD$ intersect internally at point $P$. If $PA = 4\text{ cm}$, $PB = 6\text{ cm}$, and $PC = 3\text{ cm}$, find the length of $PD$.

Q6. एक वृत्त में, दो जीवाएँ $AB$ और $CD$ बिंदु $P$ पर आंतरिक रूप से प्रतिच्छेद करती हैं। यदि $PA = 4\text{ cm}$, $PB = 6\text{ cm}$, और $PC = 3\text{ cm}$ है, तो $PD$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

(A) $6\text{ cm}$(A) $6\text{ cm}$

(B) $8\text{ cm}$(B) $8\text{ cm}$

(D) $10\text{ cm}$(D) $10\text{ cm}$

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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: $PA \times PB = PC \times PD \implies 4 \times 6 = 3 \times PD \implies 24 = 3 \times PD \implies PD = 8\text{ cm}$.

चरण-दर-चरण हल: $PA \times PB = PC \times PD \implies 4 \times 6 = 3 \times PD \implies 24 = 3 \times PD \implies PD = 8\text{ cm}$।

Topper's Shortcut: $PD = \frac{4 \times 6}{3} = 8$. Single-line mental calculation.

टॉपर शॉर्टकट: $PD = \frac{4 \times 6}{3} = 8$। एकल-पंक्ति मानसिक गणना।

Q7. The angle subtended by an arc at the center of a circle is $120^\circ$. Find the angle subtended by the same arc at any point on the remaining circumference.

Q7. वृत्त के केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण $120^\circ$ है। शेष परिधि पर किसी भी बिंदु पर उसी चाप द्वारा अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।

(A) $60^\circ$(A) $60^\circ$

(B) $120^\circ$(B) $120^\circ$

(D) $90^\circ$(D) $90^\circ$

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Angle at the circumference is half of the angle at the center. $\theta = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

चरण-दर-चरण हल: परिधि पर बना कोण केंद्र पर बने कोण का आधा होता है। $\theta = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$।

Topper's Shortcut: Half the center angle rule: $120 / 2 = 60^\circ$.

टॉपर शॉर्टकट: केंद्र कोण नियम का आधा: $120 / 2 = 60^\circ$।

Q8. If a tangent $PT$ is drawn from an external point $P$ to a circle and $PAB$ is a secant such that $PA = 4\text{ cm}$ and $AB = 5\text{ cm}$, find the length of $PT$.

Q8. यदि किसी बाह्य बिंदु $P$ से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा $PT$ खींची जाती है और $PAB$ एक छेदक रेखा है जैसे कि $PA = 4\text{ cm}$ और $AB = 5\text{ cm}$ है, तो $PT$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

(A) $5\text{ cm}$(A) $5\text{ cm}$

(B) $6\text{ cm}$(B) $6\text{ cm}$

(D) $\sqrt{20}\text{ cm}$(D) $\sqrt{20}\text{ cm}$

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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: Tangent-Secant theorem states $PT^2 = PA \times PB$. Here $PB = PA + AB = 4 + 5 = 9\text{ cm}$. $PT^2 = 4 \times 9 = 36 \implies PT = 6\text{ cm}$.

चरण-दर-चरण हल: स्पर्श रेखा-छेदक प्रमेय बताती है कि $PT^2 = PA \times PB$ होता है। यहाँ $PB = PA + AB = 4 + 5 = 9\text{ cm}$ है। $PT^2 = 4 \times 9 = 36 \implies PT = 6\text{ cm}$।

Topper's Shortcut: Remember $PB$ is the total secant length ($4+5=9$), not just $AB$.

टॉपर शॉर्टकट: याद रखें कि $PB$ कुल छेदक लंबाई ($4+5=9$) है, न कि केवल $AB$।

Q9. What is the maximum number of common tangents that can be drawn to two disjoint circles?

Q9. दो असंयुक्त (disjoint) वृत्त��ं पर अधिकतम कितनी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

(A) 2(A) 2

(B) 3(B) 3

(D) 1(D) 1

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Correct Option: (C)सही विकल्प: (C)

Step-by-Step Solution: Two disjoint circles outside each other have 2 Direct Common Tangents and 2 Transverse Common Tangents, making a total of 4.

चरण-दर-चरण हल: एक-दूसरे के बाहर दो असंयुक्त वृत्तों में 2 प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ और 2 तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ होती हैं, जिससे कुल 4 हो जाती हैं।

Topper's Shortcut: Direct conceptual question: 2 DCT + 2 TCT = 4.

टॉपर शॉर्टकट: प्रत्यक्ष वैचारिक प्रश्न: 2 DCT + 2 TCT = 4।

Q10. If the circumference of a circle is equal to $88\text{ cm}$, find its area. (Use $\pi = \frac{22}{7}$)

Q10. यदि किसी वृत्त की परिधि $88\text{ cm}$ के बराबर है, तो उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ($\pi = \frac{22}{7}$ का प्रयोग करें)

(A) $616\text{ cm}^2$(A) $616\text{ cm}^2$

(B) $308\text{ cm}^2$(B) $308\text{ cm}^2$

(D) $154\text{ cm}^2$(D) $154\text{ cm}^2$

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: $2\pi r = 88 \implies 2 \times \frac{22}{7} \times r = 88 \implies \frac{44}{7} r = 88 \implies r = 14\text{ cm}$. Area = $\pi r^2 = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 22 \times 2 \times 14 = 616\text{ cm}^2$.

चरण-दर-चरण हल: $2\pi r = 88 \implies 2 \times \frac{22}{7} \times r = 88 \implies \frac{44}{7} r = 88 \implies r = 14\text{ cm}$। क्षेत्रफल = $\pi r^2 = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 22 \times 2 \times 14 = 616\text{ cm}^2$।

Topper's Shortcut: Standard ratio memory: For $r=7$, Circumference=$44$, Area=$154$. Since circumference is doubled ($88$), radius is doubled ($14$), and area becomes $4 \times 154 = 616\text{ cm}^2$.

टॉपर शॉर्टकट: मानक अनुपात स्मृति: $r=7$ के लिए, परिधि=$44$, क्षेत्रफल=$154$। चूंकि परिधि दोगुनी है ($88$), त्रिज्या दोगुनी है ($14$), और क्षेत्रफल $4 \times 154 = 616\text{ cm}^2$ हो जाता है।