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Graphs Of Linear Equations

Complete 5-Tab SSC CGL Guide: Theory, Shortcuts, Practice MCQs, PYQs & Revision Notes.

Quick Overviewत्वरित अवलोकन

The study of graphs of linear equations forms a crucial part of coordinate geometry and algebra in the SSC CGL examination. It bridges the gap between algebraic expressions and geometric representations. In this module, we will explore the Cartesian coordinate system, plotting linear equations, finding intercepts, understanding slopes, and analyzing systems of linear equations graphically.

रैखिक समीकरणों के ग्राफ़ का अध्ययन SSC CGL परीक्षा में निर्देशांक ज्यामिति और बीजगणित का एक महत्वपूर्ण हिस्सा बनाता है। यह बीजगणितीय व्यंजकों और ज्यामितीय निरूपण के बीच की दूरी को पाटा है। इस मॉड्यूल में, हम कार्टेशियन समन्वय प्रणाली, रैखिक समीकरणों को प्लॉट करना, अंतःखंड ज्ञात करना, ढलान (slope) को समझना, और रैखिक समीकरणों के निकायों का ग्राफ़ीय विश्लेषण करना सीखेंगे।

Learning Objectivesसीखने के उद्देश्य

Understand the standard form of a linear equation in two variables: $Ax + By + C = 0$.
Learn how to find $x$-intercepts and $y$-intercepts to plot straight lines quickly.
Master the concept of slope ($m$) and angle of inclination.
Analyze consistent, inconsistent, and dependent systems of linear equations using graphical conditions.
Solve high-level SSC CGL previous years' questions involving areas of triangles formed by lines and axes.

दो चरों में रैखिक समीकरण के मानक रूप को समझना: $Ax + By + C = 0$।
सीधी रेखाओं को जल्दी से प्लॉट करने के लिए $x$-अंतःखंड और $y$-अंतःखंड ज्ञात करना सीखें।
ढलान ($m$) और झुकाव के को�� की अवधारणा में महारत हासिल करें।
ग्राफ़ीय स्थितियों का उपयोग करके संगत, असंगत और आश्रित रैखिक समीकरण प्रणालियों का विश्लेषण करें।
रेखाओं और अक्षों द्वारा बनाए गए त्रिभुजों के क्षेत्रफलों से जुड़े उच्च-स्तरीय SSC CGL पिछले वर्षों के प्रश्नों को हल करें।

Concept Introductionअवधारणा परिचय

A linear equation in two variables represents a straight line when plotted on a Cartesian plane. Every point $(x, y)$ that lies on the line satisfies the equation. Conversely, every solution to the equation corresponds to a point on the line. For competitive exams like SSC CGL, recognizing patterns in these lines—such as parallelism, intersection, and coincidence—allows for rapid problem solving without extensive calculations.

दो चरों में एक रैखिक समीकरण कार्टेशियन समतल पर प्लॉट किए जाने पर एक सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करता है। रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु $(x, y)$ समीकरण को संतुष्ट करता है। इसके विपरीत, समीकरण का प्रत्येक हल रेखा पर एक बिंदु से मेल खाता है। SSC CGL जैसी प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए, इन रेखाओं में पैटर्न को पहचानना—जैसे समानांतरता, प्रतिच्छेदन, और संपाती होना—व्यापक गणना के बिना तेजी से समस्या को हल करने की अनुमति देता है।

Real-Life Applicationsवास्तविक जीवन के अनुप्रयोग

Linear graphs are utilized extensively in economics (supply and demand curves), physics (distance-time graphs for uniform motion), and everyday budgeting where cost functions grow linearly with quantity. In competitive exams, concepts of distance between parallel lines and enclosed areas are frequently tested.

रैखिक ग्राफ़ का उपयोग अर्थशास्त्र (आपूर्ति और मांग वक्र), भौतिकी (समान गति के लिए दूरी-समय ग्राफ़), और दैनिक बजट में बड़े पैमाने पर किया जाता है जहाँ लागत फलन मात्रा ��े साथ रैखिक रूप से बढ़ते हैं। प्रतियोगी परीक्षाओं में, समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी और संलग्न क्षेत्रों की अवधारणाओं का अक्सर परीक्षण किया जाता है।

Important Terms & Definitionsमहत्वपूर्ण शर्तें और परिभाषाएँ

Termशब्द	Definition / Meaningपरिभाषा / अर्थ
Cartesian Planeकार्टेशियन समतल	A plane divided into four quadrants by the intersection of the $x$-axis and $y$-axis at right angles.$x$-अक्ष और $y$-अक्ष के समकोण पर प्रतिच्छेदन द्वारा चार चतुर्थांशों में विभाजित समतल।
Slope ($m$)ढलान ($m$)	The measure of the steepness of a line, given by $\tan\theta$ or $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.रेखा की ढलान का माप, जिसे $\tan\theta$ या $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$x$-Intercept$x$-अंतःखंड	The x-coordinate of the point where the line crosses the $x$-axis (found by setting $y = 0$).उस बिंदु का x-निर्देशांक जहाँ रेखा $x$-अक्ष को काटती है ($y = 0$ रखकर प्राप्त किया जाता है)।
$y$-Intercept$y$-अंतःखंड	The y-coordinate of the point where the line crosses the $y$-axis (found by setting $x = 0$).उस बिंदु का y-निर्��ेशांक जहाँ रेखा $y$-अक्ष को काटती है ($x = 0$ रखकर प्राप्त किया जाता है)।

Formula Sheetसूत्र तालिका

Form / Conceptरूप / अवधारणा	Formulaसूत्र
Slope-Intercept Formढलान-अंतःखंड रूप	$y = mx + c$$y = mx + c$
Intercept Formअंतःखंड रूप	$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
Area of Triangle formed with Axesअक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल	$\frac{1}{2} \times \|a\| \times \|b\|$$\frac{1}{2} \times \|a\| \times \|b\|$
Condition for Parallel Linesसमानांतर रेखाओं के लिए प्रतिबंध	$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
Condition for Intersecting Linesप्रतिच्छेद करती रेखाओं के लिए प्रतिबंध	$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$

Common Mistakes to Avoidबचने योग्य सामान्य ��लतियाँ

Confusing $x$-intercept with $y$-intercept when calculating the area of the triangle formed by a line with coordinate axes. Remember, $a$ is the $x$-intercept and $b$ is the $y$-intercept.
Neglecting the sign of intercepts while calculating area, leading to negative values. Always use absolute values: $\frac{1}{2}|ab|$.
Forgetting that parallel lines have no solution, whereas coincident lines have infinitely many solutions.

निर्देशांक अक्षों के साथ एक रेखा द्वारा बनाए गए त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करते समय $x$-अंतःखंड और $y$-अंतःखंड को भ्रमित करना। याद रखें, $a$ $x$-अंतःखंड है और $b$ $y$-अंतःखंड है।
क्षेत्रफल की गण��ा करते समय अंतःखंड के चिह्न की उपेक्षा करना, जिससे ऋणात्मक मान प्राप्त होते हैं। हमेशा निरपेक्ष मानों का उपयोग करें: $\frac{1}{2}|ab|$।
यह भूल जाना कि समानांतर रेखाओं का कोई हल नहीं होता है, जबकि संपाती रेखाओं के अनंत रूप से कई हल होते हैं।

Shortcuts & Topper Tricksशॉर्टकट और टॉपर ट्रिक्स

Trick 1: Rapid Area Calculation of Triangle Formed by Line $Ax + By = C$ with Axes

ट्रिक 1: अक्षों के साथ रेखा $Ax + By = C$ द्वारा बनाए गए त्रिभुज की तीव्र क्षेत्रफल गणना

Instead of finding intercepts manually and applying formula, directly use: $\text{Area} = \frac{C^2}{2|AB|}$.

अंतःखंडों को मैन्युअल रूप से खोजने और सूत्र लागू करने के बजाय, सीधे उपयोग करें: $\text{Area} = \frac{C^2}{2|AB|}$।

Trick 2: Quick Point of Intersection for Two Lines

ट्रिक 2: दो रेखाओं के लिए त्वरित प्रतिच्छेदन बिंदु

For equations $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ and $a_2x + b_2y + c_2 = 0$, use Cross-Multiplication Method directly:

समीकरणों $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के लिए, सीधे वज्र-गुणन विधि का उपयोग करें:

$$x = \frac{b_1c_2 - b_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1}, \quad y = \frac{c_1a_2 - c_2a_1}{a_1b_2 - a_2b_1}$$

Trick 3: Inspection for Infinite or No Solutions

ट्रिक 3: अनंत या कोई हल नहीं होने के लिए निरीक्षण

Check ratio coefficients instantly: If $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, lines never meet (Parallel $\rightarrow$ 0 solutions). If all three ratios are equal, lines overlap (Coincident $\rightarrow$ Infinite solutions).

गुणांकों के अनुपात की तुरंत जांच करें: यदि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है, तो रेखाएं कभी नहीं मिलती हैं (समानांतर $\rightarrow$ 0 हल)। यदि तीनों अनुपात समान हैं, तो रेखाएं ओवरलैप होती हैं (संपाती $\rightarrow$ अनंत हल)।

Q1. (SSC CGL Tier-II) The area of the triangle formed by the graph of the equation $4x + 3y = 12$ with the $x$-axis and the $y$-axis is:

Q1. (SSC CGL टियर-II) समीकरण $4x + 3y = 12$ के ग्राफ़ द्वारा $x$-अक्ष और $y$-अक्ष के साथ बनाए गए त्रि��ुज का क्षेत्रफल है:

(A) 6 sq units(A) 6 वर्ग इकाई

(B) 3 sq units(B) 3 वर्ग इकाई

(D) 24 sq units(D) 24 वर्ग इकाई

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Intercepts are $a = \frac{12}{4} = 3$ and $b = \frac{12}{3} = 4$. Area = $\frac{1}{2} \times |a| \times |b| = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ sq units.

चरण-दर-चरण हल: अंतःखंड $a = \frac{12}{4} = 3$ और $b = \frac{12}{3} = 4$ हैं। क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times |a| \times |b| = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ वर्ग इकाई।

Topper's Shortcut: $\text{Area} = \frac{C^2}{2|AB|} = \frac{12^2}{2 \times 4 \times 3} = \frac{144}{24} = 6$.

टॉपर शॉर्टकट: $\text{Area} = \frac{C^2}{2|AB|} = \frac{12^2}{2 \times 4 \times 3} = \frac{144}{24} = 6$।

Q2. (SSC CGL) If the graphs of the linear equations $x + 2y = 3$ and $2x - 3y + 1 = 0$ intersect at $(p, q)$, what is the value of $p + q$?

Q2. (SSC CGL) यदि रैखिक समीकरणों $x + 2y = 3$ और मौजभाव $2x - 3y + 1 = 0$ के ग्राफ़ $(p, q)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो $p + q$ का मान क्या है?

(A) 2(A) 2

(B) 3(B) 3

(D) 4(D) 4

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Solve $x + 2y = 3$ (Eq 1) and $2x - 3y = -1$ (Eq 2). Multiply Eq 1 by 2: $2x + 4y = 6$. Subtract Eq 2 from this: $(2x + 4y) - (2x - 3y) = 6 - (-1) \implies 7y = 7 \implies y = 1$. Put $y = 1$ in Eq 1: $x + 2(1) = 3 \implies x = 1$. Thus, $p = 1, q = 1 \implies p + q = 1 + 1 = 2$.

चरण-दर-चरण हल: समीकरणों को हल करें। $y = 1$ और $x = 1$ प्राप्त होता है। अतः, $p = 1, q = 1 \implies p + q = 1 + 1 = 2$।

Topper's Shortcut: Test options by plugging $x=1, y=1$ into both equations; both are satisfied instantly.

टॉपर शॉर्टकट: $x=1, y=1$ को दोनों समीकरणों में रखकर तुरंत जाँच करें।

Q3. (SSC CGL) The lines represented by $2x + y = 3$ and $4x + 2y = 6$ are:

Q3. (SSC CGL) $2x + y = 3$ और $4x + 2y = 6$ द्वारा दर्शाई गई रेखाएँ हैं:

(A) Parallel(A) समानांतर

(B) Intersecting at one point(B) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हुई

(D) Perpendicular(D) लंबवत

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Correct Option: (C)सही विकल्प: (C)

Step-by-Step Solution: Ratios are $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, and $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Since $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, the lines are coincident.

चरण-दर-चरण हल: अनुपात $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, और $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ हैं। चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है, रेखाएँ संपाती हैं।

Topper's Shortcut: Multiplying $2x + y = 3$ by 2 gives $4x + 2y = 6$, confirming identical equations (coincident lines).

टॉपर शॉर्टकट: $2x + y = 3$ को 2 से गुणा करने पर $4x + 2y = 6$ मिलता है, जो संपाती रेखाओं की पुष्टि करता है।

Q4. (SSC CGL) If a line passes through the point $(2, 5)$ and has a slope of $3$, what is its y-intercept?

Q4. (SSC CGL) यदि कोई रेखा बिंदु $(2, 5)$ से गुजरती है और उसकी ढलान $3$ है, तो उसका y-अंतःखंड क्या है?

(A) -1(A) -1

(B) 1(B) 1

(D) 5(D) 5

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Correct Option: (A)सह�� विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Use slope-intercept form $y = mx + c$. Given $m = 3$, point $(2, 5)$: $5 = 3(2) + c \implies 5 = 6 + c \implies c = -1$.

चरण-दर-चरण हल: ढलान-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ का उपयोग करें। दिया गया है $m = 3$, बिंदु $(2, 5)$: $5 = 3(2) + c \implies 5 = 6 + c \implies c = -1$।

Topper's Shortcut: $c = y - mx = 5 - (3 \times 2) = 5 - 6 = -1$.

टॉपर शॉर्टकट: $c = y - mx = 5 - (3 \times 2) = 5 - 6 = -1$।

Q5. (SSC CGL) Find the value of $k$ for which the system $kx + 2y = 5$ and $3x + y = 1$ has a unique solution.

Q5. (SSC CGL) $k$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए निकाय $kx + 2y = 5$ और $3x + y = 1$ का एक अद्वितीय हल है।

(A) $k \neq 6$(A) $k \neq 6$

(B) $k = 6$(B) $k = 6$

(D) $k = 3$(D) $k = 3$

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Condition for unique solution: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$. Thus, $\frac{k}{3} \neq \frac{2}{1} \implies k \neq 6$.

चरण-दर-चरण हल: अद्वितीय हल की शर्त: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$। अतः, $\frac{k}{3} \neq \frac{2}{1} \implies k \neq 6$।

Topper's Shortcut: Exclude the parallel condition value where $\frac{k}{3} = \frac{2}{1} \implies k = 6$. So $k$ can be any real number except $6$.

टॉपर शॉर्टकट: समानांतर स्थिति मान को छोड़ दें जहाँ $\frac{k}{3} = \frac{2}{1} \implies k = 6$ है। अतः $k$ 6 को छोड़कर कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है।

Q6. (SSC CGL) The graph of the equation $x - y = 2$ cuts the $x$-axis at:

Q6. (SSC CGL) समीकरण $x - y = 2$ का ग्राफ़ $x$-अक्ष को किस बिंदु पर काटता है?

(A) $(2, 0)$(A) $(2, 0)$

(B) $(0, -2)$(B) $(0, -2)$

(D) $(0, 2)$(D) $(0, 2)$

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: To find where it cuts the $x$-axis, set $y = 0 \implies x - 0 = 2 \implies x = 2$. Point is $(2, 0)$.

चरण-दर-चरण हल: यह देखने के लिए कि यह $x$-अक्ष को कहाँ काट��ा है, $y = 0$ रखें $\implies x - 0 = 2 \implies x = 2$। बिंदु $(2, 0)$ है।

Topper's Shortcut: $x$-intercept is $C/A = 2/1 = 2$, giving $(2, 0)$.

टॉपर शॉर्टकट: $x$-अंतःखंड $C/A = 2/1 = 2$ है, जो $(2, 0)$ देता है।

Q7. (SSC CGL) What is the area of the region bounded by $x = 0$, $y = 0$, and $2x + 3y = 6$?

Q7. (SSC CGL) $x = 0$, $y = 0$ और $2x + 3y = 6$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

(A) 3 sq units(A) 3 वर्ग इकाई

(B) 6 sq units(B) 6 वर्ग इकाई

(D) 4 sq units(D) 4 वर्ग इकाई

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Intercepts are $a = \frac{6}{2} = 3$ and $b = \frac{6}{3} = 2$. Area = $\frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$ sq units.

चरण-दर-चरण हल: अंतःखंड $a = \frac{6}{2} = 3$ और $b = \frac{6}{3} = 2$ हैं। क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$ वर्ग इकाई।

Topper's Shortcut: $\text{Area} = \frac{6^2}{2 \times 2 \times 3} = \frac{36}{12} = 3$.

टॉपर शॉर्टकट: $\text{Area} = \frac{6^2}{2 \times 2 \times 3} = \frac{36}{12} = 3$।

Q8. (SSC CGL) If the lines $ax + y = 3$ and $2x - y = 5$ intersect at $(1, -3)$, find the value of $a$.

Q8. (SSC CGL) यदि रेखाएँ $ax + y = 3$ और $2x - y = 5$ बिंदु $(1, -3)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

(A) 6(A) 6

(B) 3(B) 3

(D) 2(D) 2

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Substitute $(1, -3)$ into $ax + y = 3$: $a(1) + (-3) = 3 \implies a - 3 = 3 \implies a = 6$.

चरण-दर-चरण हल: $ax + y = 3$ में $(1, -3)$ रखें: $a(1) + (-3) = 3 \implies a - 3 = 3 \implies a = 6$।

Topper's Shortcut: Directly substitute $x = 1, y = -3$ orally: $a - 3 = 3 \rightarrow a = 6$.

टॉपर शॉर्टकट: सीधे $x = 1, y = -3$ मौखिक रूप से रखें: $a - 3 = 3 \rightarrow a = 6$।

Q9. (SSC CGL) Which of the following lines is perpendicular to $2x - 3y = 5$?

Q9. (SSC CGL) निम्नलिखित में से कौन सी रेखा $2x - 3y = 5$ के लंबवत है?

(A) $3x + 2y = 7$(A) $3x + 2y = 7$

(B) $2x + 3y = 7$(B) $2x + 3y = 7$

(D) $2x - 3y = 7$(D) $2x - 3y = 7$

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: The slope of $2x - 3y = 5$ is $m_1 = -\frac{2}{-3} = \frac{2}{3}$. For a perpendicular line, slope $m_2 = -\frac{3}{2}$. Swapping coefficients and changing one sign for $Ax + By = C$ gives $3x + 2y = k$. Option (A) matches this.

चरण-दर-चरण हल: $2x - 3y = 5$ की ढलान $m_1 = \frac{2}{3}$ है। लंबवत रेखा के लिए ढलान $m_2 = -\frac{3}{2}$ है। $Ax + By = C$ के लिए गुणांकों को आपस में बदलना और एक चिह्न बदलना $3x + 2y = k$ देता है। विकल्प (A) इससे मेल खाता है।

Topper's Shortcut: For perpendicular lines $Ax + By = C$, swap $A$ and $B$ and change the sign of one $\rightarrow 3x + 2y = \text{constant}$.

टॉपर शॉर्टकट: लंबवत रेखाओं $Ax + By = C$ के लिए, $A$ और $B$ को आपस में बदलें और एक का चिह्न बदलें $\rightarrow 3x + 2y = \text{constant}$।

Q10. (SSC CGL) The distance between the parallel lines $3x + 4y = 12$ and $3x + 4y = 24$ is:

Q10. (SSC CGL) समानांतर रेखाओं $3x + 4y = 12$ और $3x + 4y = 24$ के बीच की दूरी है:

(A) $\frac{12}{5}$ units(A) $\frac{12}{5}$ इकाई

(B) $\frac{6}{5}$ units(B) $\frac{6}{5}$ इकाई

(D) 6 units(D) 6 इकाई

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Distance between parallel lines $Ax + By = C_1$ and $Ax + By = C_2$ is given by $d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$. Here $C_1 = 12, C_2 = 24, A = 3, B = 4$. $d = \frac{|24 - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{12}{5}$ units.

चरण-दर-चरण हल: समानांतर रेखाओं $Ax + By = C_1$ और $Ax + By = C_2$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ ह��। यहाँ $C_1 = 12, C_2 = 24, A = 3, B = 4$ है। $d = \frac{|24 - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{12}{5}$ इकाई।

Topper's Shortcut: Directly apply distance formula for parallel lines: $\frac{|24 - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{12}{5}$.

टॉपर शॉर्टकट: समानांतर रेखाओं के लिए सीधे दूरी सूत्र लागू करें: $\frac{|24 - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{12}{5}$।

PYQ Trend Analysis TablePYQ प्रवृत्ति विश्लेषण तालिका

Exam Year / Tierपरीक्षा वर्ष / टियर	Average Questions Askedपूछे गए औसत प्रश्न	Primary Focus Areaप्राथमिक फोकस क्षेत्र
SSC CGL 2023 (Tier I & II)SSC CGL 2023 (टियर I और II)	1 - 2 Questions1 - 2 प्रश्न	Area of Triangles formed by lines and axesरेखाओं और अक्षों द्वारा त्रिभुज का क्षेत्रफल
SSC CGL 2022 (Tier I & II)SSC CGL 2022 (टियर I और II)	1 Question1 प्रश्न	Conditions for parallel/intersecting linesसमानांतर/प्रतिच्छेद रेखाओं के लिए शर्तें
SSC CGL 2021 & EarlierSSC CGL 2021 और उससे पहले	1 Question1 प्रश्न	Intersection point of two linesदो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु

1-Page Revision Notes1-पेज संशोधन नोट्स

Linear equation in two variables: $Ax + By + C = 0$ represents a straight line.
Slope $m = -\frac{A}{B}$. Intercepts are $x = -\frac{C}{A}$ and $y = -\frac{C}{B}$.
Area of triangle formed with axes = $\frac{C^2}{2|AB|}$.
Consistent system has at least one solution (intersecting or coincident).
Inconsistent system has no solution (parallel lines).

दो चरों में रैखिक समीकरण: $Ax + By + C = 0$ एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
ढलान $m = -\frac{A}{B}$। अंतःखंड $x = -\frac{C}{A}$ और $y = -\frac{C}{B}$ हैं।
अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{C^2}{2|AB|}$।
संगत निकाय का कम से कम एक हल होता है (प्रतिच्छेद करती हुई या संपाती)।
असंगत निकाय का कोई हल नहीं होता है (समानांतर रेखाएं)।

One Minute Revision Bulletsएक मिनट संशोधन बिंदु

Parallel lines condition: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.
Perpendicular lines condition: $m_1 \times m_2 = -1$.
Line passing through origin has constant $C = 0$ ($Ax + By = 0$).
Equation of $x$-axis is $y = 0$, and $y$-axis is $x = 0$.

समानांतर रेखाओं की शर्त: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$।
लंबवत रेखाओं की शर्त: $m_1 \times m_2 = -1$।
मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा का अचर $C = 0$ ($Ax + By = 0$) होता है।
$x$-अक्ष का समीकरण $y = 0$ है, और $y$-अक्ष का $x = 0$ है।

Conceptual Interview Style Questionsवैचारिक साक्षात्कार शैली के प्रश्न

Q: Why does a linear equation in two variables always represent a straight line on a graph?
A: Because any change in $x$ produces a proportional, constant change in $y$, maintaining a constant rate of change (slope) throughout the domain.

प्र: दो चरों में एक रैखिक समीकरण ग्राफ़ पर हमेशा एक सीधी रेखा क्यों दर्शाता है?
उ: क्योंकि $x$ में कोई भी परिवर्तन $y$ में आनुपातिक, निरंतर परिवर्तन उत्पन्न करता है, पूरे डोमेन में परिवर्तन की एक निरंतर दर (ढलान) बनाए रखता है।

Frequently Asked Questionsअक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

Q: What is the graph of a linear equation in two variables?
A: It is always a straight line. प्र: दो चरों में रैखिक समीकरण का ग्राफ़ क्या है?
उ: यह हमेशा एक सीधी रेखा होती है।
Q: How do you find the slope from a linear equation?
A: Convert the equation to $y = mx + c$ form; the coefficient $m$ is the slope. प्र: आप रैखिक समीकरण से ढलान कैसे ज्ञात करते हैं?
उ: समीकरण को $y = mx + c$ रूप में बदलें; गुणांक $m$ ढलान है।
Q: What condition represents parallel lines in linear equations?
A: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$. प्र: रैखिक समीकरणों में समानांतर रेखाओं को कौन सी स्थिति दर्शाती है?
उ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$।
Q: How do we find the $x$-intercept of a line?
A: Set $y = 0$ in the equation and solve for $x$. प्र: हम किसी रेखा का $x$-अंतःखंड कैसे ज्ञात करते हैं?
उ: समीकरण में $y = 0$ रखें और $x$ के लिए हल करें।
Q: What is the $y$-intercept of $3x - 4y = 12$?
A: Set $x = 0$, $-4y = 12 \implies y = -3$. प्र: $3x - 4y = 12$ का $y$-अंतःखंड क्या है?
उ: $x = 0$ रखें, $-4y = 12 \implies y = -3$।
Q: Can a linear equation pass through the origin?
A: Yes, if there is no constant term ($C = 0$). प्र: क्या कोई रैखिक समीकरण मूल बिंदु से गुजर सकत�� है?
उ: हाँ, यदि कोई अचर पद नहीं है ($C = 0$)।
Q: What is the area of the triangle formed by $3x + 4y = 12$ with the coordinate axes?
A: $\frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ square units. प्र: निर्देशांक अक्षों के साथ $3x + 4y = 12$ द्वारा बनाए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?
उ: $\frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ वर्ग इकाई।
Q: What does a consistent independent system mean?
A: It means the lines intersect at exactly one point, giving a unique solution. प्र: संग�� स्वतंत्र निकाय का क्या अर्थ है?
उ: इसका मतलब है कि रेखाएं ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिससे एक अद्वितीय हल मिलता है।
Q: What is the slope of a line parallel to the $x$-axis?
A: Zero ($0$), because it is a horizontal line. प्र: $x$-अक्ष के समानांतर रेखा की ढलान क्या है?
उ: शून्य ($0$), क्योंकि यह एक क्षैतिज रेखा है।
Q: What is the slope of a line parallel to the $y$-axis?
A: Undefined, because it is a vertical line. प्र: $y$-अक्ष के समानांतर रेखा की ढलान क्या है?
उ: अपरिभाषित, क्योंकि यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा है।
Q: How many solutions does a coincident line system have?
A: Infinitely many solutions. प्र: संपाती रेखा प्रणाली के कितने हल होते हैं?
उ: अनंत रूप से कई हल।
Q: How do you check if two lines are perpendicular?
A: Their slopes must multiply to $-1$ ($m_1 m_2 = -1$). प्र: आप कैसे जांचते हैं कि दो रेखाएं लंबवत हैं?
उ: उनकी ढलानों का गुणनफल $-1$ होना चाहिए ($m_1 m_2 = -1$)।
Q: What is the general equation of a line passing through the origin?
A: $y = mx$. प्र: मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा का सामान्य समीकरण क्या है?
उ: $y = mx$।
Q: Why are linear graphs important for SSC CGL?
A: They appear in coordinate geometry and algebra questions carrying direct marks. प्र: SSC CGL के लिए रैख��क ग्राफ़ क्यों महत्वपूर्ण हैं?
उ: वे निर्देशांक ज्यामिति और बीजगणित के प्रश्नों में आते हैं जो सीधे अंक दिलाते हैं।
Q: Can a system of linear equations have exactly two solutions?
A: No, a system of linear equations can either have 0, 1, or infinite solutions. प्र: क्या रैखिक समीकरणों के निकाय के ठीक दो हल हो सकते हैं?
उ: नहीं, रैखिक समीकरणों के निकाय के या तो 0, 1 या अनंत हल हो सकते हैं।

Internal Links & External Referencesआंतरिक लिंक और बाहरी संदर्भ

Refer to SJMaths modules on Coordinate Geometry Fundamentals, Systems of Linear Equations, and Algebraic Identities for holistic preparation.

समग्र तैयारी के लिए निर्देशांक ज्यामिति बुनियादी बातें, रैखिक समीकरण प्रणालियों और बीजगणितीय सर्वसमिकाओं पर SJMaths मॉड्यूल ��ेखें।

Conclusionनिष्कर्ष

Mastering graphs of linear equations enables quick visualization and cuts down calculation time significantly in SSC CGL exams. Practice the shortcut methods and formulas regularly to achieve top scores.

रैखिक समीकरणों के ग्राफ़ में महारत हासिल करने से SSC CGL परीक्षाओं में त्वरित विज़ुअलाइज़ेशन सक्षम होता है और गणना का समय काफी कम हो जाता है। शीर्ष स्कोर प्राप्त करने के लिए शॉर्टकट विधियों और सूत्रों का नियमित अभ्यास करें।

Q1. Find the area of the triangle formed by the line $3x - 4y = 12$ with the coordinate axes.

Q1. निर्देशांक अक्षों के साथ रेखा $3x - 4y = 12$ द्वारा बनाए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

(A) 6 sq units(A) 6 वर्ग इकाई

(B) 12 sq units(B) 12 वर्ग इकाई

(D) 3 sq units(D) 3 वर्ग इकाई

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Rewrite the equation in intercept form: $\frac{3x}{12} - \frac{4y}{12} = 1 \implies \frac{x}{4} + \frac{y}{-3} = 1$. Here $a = 4$ and $b = -3$. Area = $\frac{1}{2} \times |a| \times |b| = \frac{1}{2} \times 4 \times |-3| = 6$ sq units.

चरण-दर-चरण हल: समीकरण को अंतःखंड रूप में लिखें: $\frac{3x}{12} - \frac{4y}{12} = 1 \implies \frac{x}{4} + \frac{y}{-3} = 1$। यहाँ $a = 4$ और $b = -3$ है। क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times |a| \times |b| = \frac{1}{2} \times 4 \times |-3| = 6$ वर्ग इकाई।

Topper's Shortcut: Use $\text{Area} = \frac{C^2}{2|AB|} = \frac{12^2}{2 \times 3 \times 4} = \frac{144}{24} = 6$.

टॉपर शॉर्टकट: सूत्र $\text{Area} = \frac{C^2}{2|AB|} = \frac{12^2}{2 \times 3 \times 4} = \frac{144}{24} = 6$ का उपयोग करें।

Q2. For what value of $k$ do the equations $kx + 3y = k - 3$ and $12x + ky = k$ represent coincident lines?

Q2. $k$ के किस मान के लिए समीकरण $kx + 3y = k - 3$ और $12x + ky = k$ संपाती रेखाओं को दर्शाते हैं?

(A) 6(A) 6

(B) -6(B) -6

(D) 3(D) 3

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: For coincident lines, $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$. Thus, $\frac{k}{12} = \frac{3}{k} = \frac{k-3}{k}$. Taking $\frac{k}{12} = \frac{3}{k} \implies k^2 = 36 \implies k = \pm 6$. Verifying with constant terms: if $k = -6$, $\frac{-6-3}{-6} = \frac{-9}{-6} = \frac{3}{2}$, but $\frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}$ (not equal). If $k = 6$, $\frac{6-3}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ and $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Hence, $k = 6$.

चरण-दर-चरण हल: संपाती रेखाओं के लिए, $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$। अतः, $\frac{k}{12} = \frac{3}{k} = \frac{k-3}{k}$। $\frac{k}{12} = \frac{3}{k} \implies k^2 = 36 \implies k = \pm 6$ लेने पर। जाँच करने पर: यदि $k = -6$ है, तो अनुपात मेल नहीं खाते। यदि $k = 6$ है, तो $\frac{6-3}{6} = \frac{1}{2}$ और $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$। अतः, $k = 6$।

Topper's Shortcut: Quickly test positive and negative options. Only $k = 6$ satisfies all three ratio equalities.

टॉपर शॉर्टकट: धनात्मक और ऋणात्मक विकल्पों की तुरंत जाँच करें। केवल $k = 6$ तीनों अनुपातों को संतुष्ट करता है।

Q3. What is the slope of the line passing through the points $(2, 3)$ and $(5, 9)$?

Q3. बिंदुओं $(2, 3)$ और $(5, 9)$ से गुजरने वाली रेखा की ढलान क्या है?

(A) 2(A) 2

(B) 3(B) 3

(D) 0.5(D) 0.5

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Slope formula $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$.

चरण-दर-चरण हल: ढलान का सूत्र $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$।

Topper's Shortcut: Oral calculation: $\Delta y = 6$, $\Delta x = 3$, ratio is $6/3 = 2$.

टॉपर शॉर्टकट: मौखिक गणना: $\Delta y = 6$, $\Delta x = 3$, अनुपात $6/3 = 2$ है।

Q4. The system of equations $2x + 3y = 7$ and $4x + 6y = 14$ has:

Q4. समीकरण निकाय $2x + 3y = 7$ और $4x + 6y = 14$ के कितने हल हैं?

(A) A unique solution(A) एक अद्वितीय हल

(B) No solution(B) कोई हल नहीं

(D) Exactly two solutions(D) ठीक दो हल

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Correct Option: (C)सही विकल्प: (C)

Step-by-Step Solution: Check ratios: $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$. Since all ratios are equal, the two equations represent the exact same line, yielding infinitely many solutions.

चरण-दर-चरण हल: अनुपातों की जाँच करें: $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$। चूंकि सभी अनुपात समान हैं, दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं, जिससे अनंत रूप से कई हल प्राप्त होते हैं।

Topper's Shortcut: Notice that multiplying the first equation by 2 gives the second equation directly $\rightarrow$ Identical lines $\rightarrow$ Infinite solutions.

टॉपर शॉर्टकट: ध्यान दें कि पहले समीकरण को 2 से गुणा करने पर सीधे दूसरा समीकरण प्रा��्त होता है $\rightarrow$ समान रेखाएँ $\rightarrow$ अनंत हल।

Q5. What is the $x$-intercept of the line $5x - 7y = 35$?

Q5. रेखा $5x - 7y = 35$ का $x$-अंतःखंड क्या है?

(A) 7(A) 7

(B) -7(B) -7

(D) -5(D) -5

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: To find the $x$-intercept, put $y = 0 \implies 5x = 35 \implies x = 7$.

चरण-दर-चरण हल: $x$-अंतःखं�� ज्ञात करने के लिए, $y = 0$ रखें $\implies 5x = 35 \implies x = 7$।

Topper's Shortcut: $x$-intercept is simply $\frac{C}{A} = \frac{35}{5} = 7$.

टॉपर शॉर्टकट: $x$-अंतःखंड सीधे $\frac{C}{A} = \frac{35}{5} = 7$ है।

Q6. If the lines $2x + 3y - 5 = 0$ and $kx - 6y - 8 = 0$ are parallel, find the value of $k$.

Q6. यदि रेखाएँ $2x + 3y - 5 = 0$ और $kx - 6y - 8 = 0$ सम��नांतर हैं, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

(A) -4(A) -4

(B) 4(B) 4

(D) 2(D) 2

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Condition for parallel lines: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$. Thus, $\frac{2}{k} = \frac{3}{-6} \implies \frac{2}{k} = -\frac{1}{2} \implies k = -4$.

चरण-दर-चरण हल: समानांतर रेखाओं की शर्त: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$। अतः, $\frac{2}{k} = \frac{3}{-6} \implies \frac{2}{k} = -\frac{1}{2} \implies k = -4$।

Topper's Shortcut: Equate slopes ($m_1 = m_2$): $-\frac{2}{3} = -\frac{k}{-6} \implies \frac{2}{3} = \frac{k}{6} \implies k = -4$.

टॉपर शॉर्टकट: ढलानों को बराबर करें ($m_1 = m_2$): $-\frac{2}{3} = -\frac{k}{-6} \implies \frac{2}{3} = \frac{k}{6} \implies k = -4$।

Q7. What is the equation of the line passing through $(1, 2)$ and parallel to the line $3x - 4y = 5$?

Q7. बिंदु $(1, 2)$ से गुजरने वाली और रेखा $3x - 4y = 5$ के समानांतर रेखा का समीकरण क्या है?

(A) $3x - 4y = -5$(A) $3x - 4y = -5$

(B) $3x - 4y = 5$(B) $3x - 4y = 5$

(D) $3x + 4y = 11$(D) $3x + 4y = 11$

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Parallel lines have the same coefficients of $x$ and $y$. Let the equation be $3x - 4y = c$. Substituting point $(1, 2)$: $3(1) - 4(2) = c \implies 3 - 8 = c \implies c = -5$. Thus, equation is $3x - 4y = -5$.

चरण-दर-चरण हल: समानांतर रेखाओं में $x$ और $y$ के गुणांक समान होते हैं। समीकरण को $3x - 4y = c$ मानिए। बिंदु $(1, 2)$ रखने पर: $3(1) - 4(2) = c \implies 3 - 8 = c \implies c = -5$। अतः, समीकरण $3x - 4y = -5$ है।

Topper's Shortcut: Substitute $(1, 2)$ directly into the options; only option (A) gives $3(1) - 4(2) = -5$.

टॉपर शॉर्टकट: विकल्पों में सीधे $(1, 2)$ रखें; केवल विकल्प (A) $3(1) - 4(2) = -5$ देता है।

Q8. Find the perimeter of the triangle formed by the lines $x = 0$, $y = 0$, and $3x + 4y = 12$.

Q8. रेखाओं $x = 0$, $y = 0$ और $3x + 4y = 12$ द्वारा बनाए गए त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।

(A) 12 units(A) 12 इकाई

(B) 6 units(B) 6 इकाई

(D) 10 units(D) 10 इकाई

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: The lines $x = 0$ ($y$-axis) and $y = 0$ ($x$-axis) form a right-angled triangle with the line $3x + 4y = 12$. The intercepts are $a = 4$ and $b = 3$. The lengths of the sides are $4$, $3$, and the hypotenuse is $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$. Perimeter = Sum of sides = $4 + 3 + 5 = 12$ units.

चरण-दर-चरण हल: रेखाएँ $x = 0$ ($y$-अक्ष) और $y = 0$ ($x$-अक्ष) रेखा $3x + 4y = 12$ के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं। अंतःखंड $a = 4$ और $b = 3$ हैं। भुजाओं की लंबाई $4$, $3$ है, और कर्ण $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ है। परिमाप = भुजाओं का योग = $4 + 3 + 5 = 12$ इकाई।

Topper's Shortcut: Recognize the standard 3-4-5 right-angled triangle. Perimeter = $3 + 4 + 5 = 12$.

टॉपर शॉर्टकट: मानक 3-4-5 समकोण त्रिभुज को पहचानें। परिमाप = $3 + 4 + 5 = 12$।

Q9. At what point does the graph of $2x - 3y = 12$ intersect the $y$-axis?

Q9. $2x - 3y = 12$ का ग्राफ़ $y$-अक्ष को किस बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है?

(A) $(0, -4)$(A) $(0, -4)$

(B) $(6, 0)$(B) $(6, 0)$

(D) $(0, 4)$(D) $(0, 4)$

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: To find intersection with $y$-axis, put $x = 0 \implies -3y = 12 \implies y = -4$. Thus, the point is $(0, -4)$.

चरण-दर-चरण हल: $y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए, $x = 0$ रखें $\implies -3y = 12 \implies y = -4$। अतः, बिंदु $(0, -4)$ है।

Topper's Shortcut: $y$-intercept is $\frac{C}{B} = \frac{12}{-3} = -4$, giving coordinate $(0, -4)$.

टॉपर शॉर्टकट: $y$-अंतःखंड $\frac{C}{B} = \frac{12}{-3} = -4$ है, जिससे निर्देशांक $(0, -4)$ प्राप्त होता है।

Q10. For which value of $a$ do the lines $ax + 2y = 8$ and $8x + ay = 16$ have no solution?

Q10. $a$ के किस मान के लिए रेखाओं $ax + 2y = 8$ और $8x + ay = 16$ का कोई हल नहीं है?

(A) 4(A) 4

(B) -4(B) -4

(D) -8(D) -8

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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: Condition for no solution (parallel lines): $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$. So, $\frac{a}{8} = \frac{2}{a} \implies a^2 = 16 \implies a = \pm 4$. If $a = 4$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$, and $\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ (makes them coincident). If $a = -4$, $\frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$ and $\frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$, while $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ (unequal, hence parallel). Thus, $a = -4$.

चरण-दर-चरण हल: कोई हल न होने की शर्त (समानांतर रेखाएँ): $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$। अतः, $\frac{a}{8} = \frac{2}{a} \implies a^2 = 16 \implies a = \pm 4$। यदि $a = 4$ है, तो रेखाएँ संपाती हो जाती हैं। यदि $a = -4$ है, तो अनुपात समानांतरता की शर्त को संतुष्ट करते हैं लेकिन अचर अनुपात के बराबर नहीं हैं। अतः, $a = -4$।

Topper's Shortcut: Test $a = -4$: $\frac{-4}{8} = \frac{2}{-4} \neq \frac{8}{16}$, which satisfies the exact parallel condition.

टॉपर शॉर्टकट: $a = -4$ का परीक्षण करें: $\frac{-4}{8} = \frac{2}{-4} \neq \frac{8}{16}$, जो सटीक समानांतर शर्त को संतुष्ट करता है।