Quadrilaterals

Complete 5-Tab SSC CGL Guide: Theory, Shortcuts, Practice MCQs, PYQs & Revision Notes.

Comprehensive Theory & Basics: Quadrilateralsव्यापक सिद्धांत और बुनियादी बातें: चतुर्भुज

Quick Overviewत्वरित अवलोकन

A quadrilateral is a four-sided polygon enclosed by four line segments. It has 4 vertices, 4 sides, 4 interior angles, and 2 diagonals. The sum of all interior angles of a quadrilateral is always $360^\circ$. In SSC CGL examinations, questions from quadrilaterals test your understanding of properties, diagonal intersections, area formulas, and cyclic properties.

चतुर्भुज चार रेखाखंडों से घिरा हुआ चार भुजाओं वाला बहुभुज होता है। इसमें 4 शीर्ष, 4 भुजाएँ, 4 आंतरिक कोण और 2 विकर्ण होते हैं। चतुर्भुज के सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा $360^\circ$ होता है। एसएससी सीजीएल परीक्षाओं में, चतुर्भुज से जुड़े प्रश्न गुणों, विकर्ण प्रतिच्छेदन, क्षेत्रफल सूत्रों और चक्रीय गुणों की आपकी समझ का परीक्षण करते हैं।

Learning Objectivesसीखने के उद्देश्य

Concept Introductionसंकल्पना परिचय

Geometry forms a major chunk of Quantitative Aptitude in SSC CGL. Among geometrical figures, polygons—specifically quadrilaterals—appear frequently in Tier-1 and Tier-2 exams. A deep dive into the foundational definitions and theorems ensures accuracy in coordinate geometry applications as well as pure geometry proofs.

ज्यामिति एसएससी सीजीएल में मात्रात्मक योग्यता (Quantitative Aptitude) का एक बड़ा हिस्सा बनाती है। ज्यामितीय आकृतियों में, बहुभुज—विशेष रूप से चतुर्भुज—टियर-1 और टियर-2 परीक्षाओं में बार-बार आते हैं। बुनियादी परिभाषाओं और प्रमेयों का गहन अध्ययन निर्देशांक ज्यामिति अनुप्रयोगों के साथ-साथ शुद्ध ज्यामिति प्रमाणों में सटीकता सुनिश्चित करता है।

Real-Life Applicationsवास्तविक जीवन के अनुप्रयोग

Quadrilaterals are everywhere in architecture, structural engineering, and land measurement. From rectangular rooms and square plots to the aerodynamic structures of bridges and architectural facades utilizing trapeziums and rhombuses, understanding quadrilateral mechanics is fundamental for construction and design efficiency.

चतुर्भुज वास्तुकला, संरचनात्मक इंजीनियरिंग और भूमि माप में हर जगह मौजूद हैं। आयताकार कमरों और वर्गाकार भूखंडों से लेकर पुलों की वायुगतिकीय संरचनाओं और समलंब तथा समचतुर्भुज का उपयोग करने वाले वास्तुशिल्प अग्रभागों तक, निर्माण और डिजाइन दक्षता के लिए चतुर्भुज यांत्रिकी को समझना मौलिक है।

Definitions & Classificationsपरिभाषाएँ और वर्गीकरण

Quadrilaterals are broadly classified based on the parallelism of their opposite sides:

चतुर्भुजों को उनकी विपरीत भुजाओं की समांतरता के आधार पर व्यापक रूप से वर्गीकृत किया जाता है:

Important Terms Tableमहत्वपूर्ण शब्द तालि��ा

Termशब्द Definition / Core Propertyपरिभाषा / मुख्य गुण
Diagonalविकर्ण Line segment joining non-consecutive vertices.गैर-लगातार शीर्षों को मिलाने वाला रेखाखंड।
Cyclic Quadrilateralचक्री�� चतुर्भुज Quadrilateral whose all four vertices lie on a circle. Opposite angles sum to $180^\circ$.चतुर्भुज जिसके चारों शीर्ष वृत्त पर स्थित होते हैं। विपरीत कोणों का योग $180^\circ$ होता है।
Mid-Point Theoremमध्य-बिंदु प्रमेय Line segment joining the midpoints of two sides of a triangle is parallel to the third side and half of it.त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर और उस��ा आधा होता है।

Formula Sheet Tableसूत्र शीट तालिका

Figureआकृति Area Formulaक्षेत्रफल का सूत्र Perimeter / Special Propertiesपरिमाप / विशेष गुण
Parallelogramसमांतर चतुर्भुज $\text{Base} \times \text{Height}$$\text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ $2(a + b)$$2(a + b)$
Rectangleआयत $\text{Length} \times \text{Breadth}$$\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}$ $2(l + b)$$2(l + b)$
Squareवर्ग $a^2$ or $\frac{1}{2}d^2$$a^2$ या $\frac{1}{2}d^2$ $4a$$4a$
Rhombusसमचतुर्भुज $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$$\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ $4a$, $d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$$4a$, $d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$
Trapeziumसमलंब चतुर्भुज $\frac{1}{2} \times (\text{Sum of Parallel Sides}) \times \text{Height}$$\frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊंचाई}$ Sum of all 4 sidesसभी 4 भुजाओं का योग

Derivations & Mathematical Proofsव्युत्पत्ति और गणितीय प्रमाण

Theorem: The diagonals of a parallelogram bisect each other.
*Proof Sketch:* Consider a parallelogram $ABCD$ with diagonals intersecting at $O$. Triangles $AOB$ and $COD$ are congruent by ASA/AAS criteria since alternate interior angles are equal and opposite sides are equal ($AB = CD$). Thus, $AO = CO$ and $BO = DO$.

प्रमेय: एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
*प्रमाण रूपरेखा:* $O$ पर प्रतिच्छेद करने वाले विकर्णों के साथ एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ पर विचार करें। त्रिभुज $AOB$ और $COD$ ASA/AAS मानदंडों द्वारा सर्वांगसम हैं क्योंकि एकांतर आंतरिक कोण बराबर हैं और विपरीत भुजाएँ बराबर हैं ($AB = CD$)। इस प्रकार, $AO = CO$ और $BO = DO$ है।

Common Mistakes & Pitfallsसामान्य गलतियाँ और क��ियाँ

Shortcuts & Topper Tricks: Quadrilateralsशॉर्टकट और टॉपर ट्रिक्स: चतुर्भुज

Tricks for Speed Optimizationगति अनुकूलन के लिए ट्रिक्स

In SSC CGL, time is the ultimate currency. Utilizing specific algebraic and geometric shortcuts can save 30-45 seconds per question.

एसएससी सीजीएल में, समय सबसे मूल्यवान है। विशिष्ट बीजगणितीय और ज्यामितीय शॉर्टकट का उपयोग करने से प्रति प्रश्न 30-45 सेकंड की बचत हो सकती है।

Trick 1: Diagonal and Side Relation in Rhombusट्रिक 1: समचतुर्भुज में विकर्ण और भुजा का संबंध

For any rhombus of side $a$ and diagonals $d_1, d_2$:
$4a^2 = d_1^2 + d_2^2$
*Topper Note:* If three terms are given, immediately find the fourth without drawing diagrams.

भुजा $a$ और विकर्णों $d_1, d_2$ वाले किसी भी समचतुर्भुज के लिए:
$4a^2 = d_1^2 + d_2^2$
*टॉपर नोट:* यदि तीन पद दिए गए हैं, तो बिना आरेख खींचे तुरंत चौथे को ज्ञात करें।

Trick 2: Mid-Point Quadrilateral Propertyट्रिक 2: मध्य-बिंदु चतुर्भुज गुण

If you join the midpoints of the sides of *any* quadrilateral in order, the resulting inner figure is always a **Parallelogram**. Furthermore, the area of this inner parallelogram is exactly **half** of the area of the outer quadrilateral.

यदि आप *किसी भी* चतुर्भुज की भुजाओं के मध्यबिंदुओं को क्रम में मिलाते हैं, तो परिणामी आंतरिक आकृति हमेशा एक **समांतर चतुर्भुज** होती है। इसके अलावा, इस आंतरिक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल बाहरी चतुर्भुज के क्षेत्रफल का ठीक **आधा** होता है।

Trick 3: Area of Cyclic Quadrilateral (Brahmagupta's Formula)ट्रिक 3: चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल (ब्रह्मगुप्त का सूत्र)

For a cyclic quadrilateral with sides $a, b, c, d$ and semi-perimeter $s = \frac{a+b+c+d}{2}$:
$\text{Area} = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$
*Shortcut:* Save calculation steps by factoring out terms before taking square roots.

भुजाओं $a, b, c, d$ और अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c+d}{2}$ वाले चक्रीय चतुर्भुज के लिए:
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$
*शॉर्टकट:* वर्गमूल लेने से पहले पदों के गुणनखंड करके गणना चरणों को बचाएं।

Trick 4: Parallelogram Formed by Angle Bisectorsट्रिक 4: कोण समद्विभाजकों द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज

The internal angle bisectors of any parallelogram enclose a **Rectangle**. The diagonals of this rectangle are equal to the difference of adjacent sides of the parent parallelogram.

किसी भी समांतर चतुर्भुज के आंतरिक कोण समद्विभाजक एक **आयत** बनाते हैं। इस आयत के विकर्ण मूल समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाओं के अंतर के बराबर होते हैं।

Revision Notes & 15 SEO FAQsसंशोधन नोट्स और 15 एसईओ अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

1-Page High-Yield Revision Summary1-पेज उच्च-उपज संशोधन सारांश

Final Expert Advice for Aspirantsआकांक्षी के लिए अंतिम विशेषज्ञ सलाह

Practice at least 50 varied problems covering parallelograms, rhombuses, and cyclic quadrilaterals. Speed and accuracy stem from familiarizing yourself with standard numerical combinations used repeatedly by SSC examiners.

समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज और चक��रीय चतुर्भुज को कवर करने वाली कम से कम 50 विविध समस्याओं का अभ्यास करें। गति और सटीकता एसएससी परीक्षकों द्वारा बार-बार उपयोग किए जाने वाले मानक संख्यात्मक संयोजनों से खुद को परिचित करने से आती है।

Revision Notes & 15 SEO FAQsसंशोधन नोट्स और 15 एसईओ अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

1-Page High-Yield Revision Notes1-पेज उच्च-उपज संशोधन नोट्स

One Minute Rapid Revision Bulletsएक मिनट त्वरित संशोधन बुलेट्स

Conceptual Interview Style Questionsवैचारिक साक्षात्कार शैली के प्रश्न

Q: Can a kite be a parallelogram?
A: No, because opposite sides in a kite are not parallel; only adjacent pairs of sides are equal.

प्र: क्या एक पतंग एक समांतर चतुर्भुज हो सकती है?
उ: नहीं, क्योंकि पतंग में विपरीत भुजाएँ समांतर नहीं होती हैं; केवल आसन्न भुजाओं के युग्म बराबर होते हैं।

Frequently Asked Questionsअक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

Q1: What is the sum of interior angles of a quadrilateral?Q1: चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग कितना होता है?
The sum of interior angles of any quadrilateral is always $360^\circ$.किसी भी चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा $360^\circ$ होता है।

Q2: What is the difference between a rhombus and a square?Q2: समचतुर्भुज और वर्ग में क्या अंतर है?
All sides are equal in both, but a square has all interior angles equal to $90^\circ$ and equal diagonals, whereas a rhombus has unequal diagonals and angles not necessarily $90^\circ$.दोनों में सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, लेकिन वर्ग के सभी आंतरिक कोण $90^\circ$ और विकर्ण बराबर होते हैं, जबकि समचतुर्भुज में असमान विकर्ण और कोण आवश्यक रूप से $90^\circ$ नहीं होते हैं।

Q3: How do you find the area of a trapezium?Q3: समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

Area = $\frac{1}{2} \times (\text{Sum of parallel sides}) \times \text{Height}$.क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊंचाई}$।

Q4: Are the diagonals of a parallelogram equal?Q4: क्या समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं?
No, diagonals of a general parallelogram are not equal. They only bisect each other.नहीं, सामान्य समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर नहीं होते हैं। वे केवल एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

Q5: What is a cyclic quadrilateral?Q5: चक्रीय चतुर्भुज क्या है?
A quadrilateral whose all four vertices lie on the circumference of a single circle.एक चतुर्भुज जिसके चारों शीर्ष एक ही वृत्त की परिधि पर स्थित होते हैं।

Q6: What is Brahmagupta's formula used for?Q6: ब्रह्मगुप्त के सूत्र का उपयोग किसके लिए किया जाता है?
It is used to find the area of a cyclic quadrilateral given its four side lengths.इसका उपयोग इसकी चार भुजाओं की लंबाई दिए जाने पर चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किया जाता है।

Q7: Can a rectangle be inscribed in a circle?Q7: क्या आयत को वृत्त के अंदर अंकित किया जा सकता है?
Yes, every rectangle is a cyclic quadrilateral and can be inscribed in a circle.हाँ, प्रत्येक आयत एक चक्रीय चतुर्भुज है और इसे वृत्त के अंदर अंकित किया जा सकता है।

Q8: What figure is formed by joining the midpoints of a rectangle?Q8: आयत के मध्यबिंदुओं को मिलाने से कौन सी आकृति बनती है?
A rhombus is formed by joining the midpoints of the sides of a rectangle.आयत की भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने से एक समचतुर्भुज बनता है।

Q9: What is the relation between sides and diagonals of a rhombus?Q9: समचतुर्भुज की भुजाओं और विकर्णों के बीच क्या संबंध है?
$4a^2 = d_1^2 + d_2^2$, where $a$ is the side and $d_1, d_2$ are diagonals.$4a^2 = d_1^2 + d_2^2$, जहाँ $a$ भुजा है और $d_1, d_2$ विकर्ण हैं।

Q10: What are the angle sum properties of a parallelogram?Q10: समांतर चतुर्भुज के कोण योग गुण क्या हैं?
Opposite angles are equal, and adjacent angles are supplementary (sum to $180^\circ$).विपरीत कोण बराबर होते हैं, और आसन्न कोण संपूरक होते हैं ($180^\circ$ योग होता है)।

Q11: How many independent measurements are required to construct a unique quadrilateral?Q11: एक अद्वितीय चतुर्भुज की रचना करने के लिए कितने स्वतंत्र मापों की आवश्यकता होती है?
Generally, 5 independent measurements are required.आम तौर पर, 5 स्वतंत्र मापों की आवश्यकता होती है।

Q12: Is a square a special type of rectangle?Q12: क्या वर्ग आयत का एक विशेष प्रकार है?
Yes, a square is a rectangle with equal adjacent sides.हाँ, वर्ग समान आसन्न भुजाओं वाला एक आयत है।

Q13: What is the property of diagonals in a kite?Q13: पतंग म��ं विकर्णों का क्या गुण होता है?
The diagonals of a kite intersect at right angles ($90^\circ$), and the longer diagonal bisects the shorter diagonal.पतंग के विकर्ण समकोण ($90^\circ$) पर प्रतिच्छेद करते हैं, और लंबा विकर्ण छोटे विकर्ण को समद्विभाजित करता है।

Q14: Can a trapezium have all four sides equal?Q14: क्या समलंब चतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर हो सकती हैं?
No, if all four sides are equal, it becomes a rhombus or square, which possess two pairs of parallel sides. A trapezium strictly requires only one pair of parallel sides.नहीं, यदि चारों भुजाएँ बराबर हैं, तो यह एक समचतुर्भुज या वर्ग बन जाता है, जिसमें समांतर भुजाओं के दो युग्म होते हैं। समलंब चतुर्भुज के लिए कड़ाई से समांतर भुजाओं के केवल एक युग्म की आवश्यकता होती है।

Q15: How are quadrilaterals important for SSC CGL Tier-2?Q15: एसएससी सीजीएल टियर-2 के लिए चतुर्भुज क्यों महत्वपूर्ण हैं?
Tier-2 features advanced geometry questions combining circle theorems, coordinate geometry, and multi-step quadrilateral property applications.टियर-2 में वृत्त प्रमेयों, निर्देशांक ज्यामिति और बहु-चरण चतुर्भुज गुण अनुप्रयोगों को संयोजित करने वाले उन्नत ज्यामिति प्रश्न शामिल होते हैं।

Internal Links & External Referencesआंतरिक लिंक और बाहरी संदर्भ

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Conclusionनिष्कर्ष

Mastering quadrilaterals requires clear conceptual retention of properties and rigorous practice of shortcut formulas. Regular revision of these modules will ensure top-tier performance in SSC CGL Mathematics.

चतुर्भुज में महारत हासिल करने के लिए गुणों की स्पष्ट वैقलपिक प्रतिधारण और शॉर्टकट सूत्रों के कठोर अभ्यास की आवश्यकता होती है। एसएससी सीजीएल गणित में शीर्ष प्रदर्शन सुनिश्चित करने के लिए इन मॉड्यूलों का नियमित संशोधन करें।

Solved Practice MCQs: Quadrilateralsहल किए गए अभ्यास एमसीक्यू: चतुर्भुज

Q1. The lengths of the diagonals of a rhombus are $24\text{ cm}$ and $10\text{ cm}$. Find the perimeter of the rhombus.
Q1. एक समचतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई $24\text{ cm}$ और $10\text{ cm}$ है। समचतुर्भुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।
(A) $52\text{ cm}$(A) $52\text{ cm}$
(B) $48\text{ cm}$(B) $48\text{ cm}$
(C) $56\text{ cm}$(C) $56\text{ cm}$
(D) $60\text{ cm}$(D) $60\text{ cm}$
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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Diagonals of a rhombus bisect each other at $90^\circ$. Half diagonals are $d_1/2 = 12\text{ cm}$ and $d_2/2 = 5\text{ cm}$. Side $a = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\text{ cm}$. Perimeter = $4a = 4 \times 13 = 52\text{ cm}$.
चरण-दर-चरण हल: समचतुर्भुज के विकर्ण $90^\circ$ पर एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। आधे विकर्ण $d_1/2 = 12\text{ cm}$ और $d_2/2 = 5\text{ cm}$ हैं। भुजा $a = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\text{ cm}$। परिमाप = $4a = 4 \times 13 = 52\text{ cm}$।
Topper's Shortcut: Remember the Pythagorean triplet $(5, 12, 13)$. Immediately know side is $13$, so perimeter is $4 \times 13 = 52$.
टॉपर शॉर्टकट: पाइथागोरियन ट्रिपलेट $(5, 12, 13)$ याद रखें। तुरंत जानें कि भुजा $13$ है, इसलिए परिमाप $4 \times 13 = 52$ है।
Q2. In a parallelogram $ABCD$, $\angle A = (3x - 20)^\circ$ and $\angle C = (x + 40)^\circ$. Find the value of $x$.
Q2. एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में, $\angle A = (3x - 20)^\circ$ और $\angle C = (x + 40)^\circ$ है। $x$ का मान ज्ञात क���जिए।
(A) $20^\circ$(A) $20^\circ$
(B) $30^\circ$(B) $30^\circ$
(C) $40^\circ$(C) $40^\circ$
(D) $50^\circ$(D) $50^\circ$
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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: In a parallelogram, opposite angles are equal. Therefore, $\angle A = \angle C \implies 3x - 20 = x + 40 \implies 2x = 60 \implies x = 30^\circ$.
चरण-दर-चरण हल: समांतर चतुर्भुज में, विपरीत कोण बराबर होते हैं। इसलिए, $\angle A = \angle C \implies 3x - 20 = x + 40 \implies 2x = 60 \implies x = 30^\circ$।
Topper's Shortcut: Equate opposite angles directly without writing intermediate geometric statements.
टॉपर शॉर्टकट: मध्यवर्ती ज्यामितीय कथन लिखे बिना सीधे विपरीत कोणों को बराबर करें।
Q3. The parallel sides of a trapezium are $12\text{ cm}$ and $20\text{ cm}$, and the distance between them is $8\text{ cm}$. Find its area.
Q3. एक समलंब चतुर्भुज की समांतर भुजाएँ $12\text{ cm}$ और $20\text{ cm}$ हैं, और उनके बीच की दूरी $8\text{ cm}$ है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(A) $112\text{ cm}^2$(A) $112\text{ cm}^2$
(B) $128\text{ cm}^2$(B) $128\text{ cm}^2$
(C) $96\text{ cm}^2$(C) $96\text{ cm}^2$
(D) $144\text{ cm}^2$(D) $144\text{ cm}^2$
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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: Area = $\frac{1}{2} \times (\text{sum of parallel sides}) \times \text{height} = \frac{1}{2} \times (12 + 20) \times 8 = \frac{1}{2} \times 32 \times 8 = 16 \times 8 = 128\text{ cm}^2$.
चरण-दर-चरण हल: क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times (\text{समांतर भुजाओं का योग}) \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (12 + 20) \times 8 = \frac{1}{2} \times 32 \times 8 = 16 \times 8 = 128\text{ cm}^2$।
Topper's Shortcut: Average of parallel sides = $\frac{12+20}{2} = 16$. Area = Average $\times$ Height = $16 \times 8 = 128$.
टॉपर शॉर्टकट: समांतर भुजाओं का औसत = $\frac{12+20}{2} = 16$ है। क्षेत्रफल = औसत $\times$ ऊंचाई = $16 \times 8 = 128$।
Q4. If the angles of a quadrilateral are in the ratio $3:4:5:6$, find the measure of the largest angle.
Q4. यदि एक चतुर्भुज के कोण $3:4:5:6$ के अनुपात में हैं, तो सबसे बड़े कोण की माप ज्ञात क���जिए।
(A) $100^\circ$(A) $100^\circ$
(B) $120^\circ$(B) $120^\circ$
(C) $140^\circ$(C) $140^\circ$
(D) $150^\circ$(D) $150^\circ$
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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: Sum of ratios = $3 + 4 + 5 + 6 = 18$. Total angle sum = $360^\circ$. One unit = $360^\circ / 18 = 20^\circ$. Largest angle corresponds to ratio $6$, so $6 \times 20^\circ = 120^\circ$.
चरण-दर-चरण हल: अनुपातों का योग = $3 + 4 + 5 + 6 = 18$ है। कुल कोण योग = $360^\circ$ है। एक इकाई = $360^\circ / 18 = 20^\circ$ है। सबसे बड़ा कोण अनुपात $6$ से मेल खाता है, इसलिए $6 \times 20^\circ = 120^\circ$ है।
Topper's Shortcut: Directly compute $\frac{6}{18} \times 360^\circ = \frac{1}{3} \times 360^\circ = 120^\circ$.
टॉपर शॉर्टकट: सीधे $\frac{6}{18} \times 360^\circ = \frac{1}{3} \times 360^\circ = 120^\circ$ की गणना करें।
Q5. The perimeter of a rhombus is $40\text{ cm}$ and one of its diagonals is $12\text{ cm}$. Find the length of the other diagonal.
Q5. एक समचतुर्भुज का परिमाप $40\text{ cm}$ है और इसका एक विकर्ण $12\text{ cm}$ है। दूसरे व���कर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।
(A) $16\text{ cm}$(A) $16\text{ cm}$
(B) $18\text{ cm}$(B) $18\text{ cm}$
(C) $20\text{ cm}$(C) $20\text{ cm}$
(D) $24\text{ cm}$(D) $24\text{ cm}$
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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Perimeter = $40 \implies \text{side } a = 10\text{ cm}$. Half of given diagonal = $12/2 = 6\text{ cm}$. Half of other diagonal $x = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\text{ cm}$. Other diagonal = $2 \times 8 = 16\text{ cm}$.
चरण-दर-चरण हल: परिमाप = $40 \implies \text{भुजा } a = 10\text{ cm}$। दिए गए विकर्ण का आधा = $12/2 = 6\text{ cm}$। दूसरे विकर्ण का आधा $x = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\text{ cm}$। दूसरा विकर्ण = $2 \times 8 = 16\text{ cm}$।
Topper's Shortcut: Use triplet $(6, 8, 10)$. Since side is $10$ and half-diagonal is $6$, the other half-diagonal must be $8$, making full diagonal $16$.
टॉपर शॉर्टकट: ट्रिपलेट $(6, 8, 10)$ का उपयोग करें। चूंकि भुजा $10$ है और आधा-विकर्ण $6$ है, दूसरा आधा-विकर्ण $8$ होना चाहिए, जिससे पूर्ण विकर्ण $16$ हो जाता है।
Q6. In a cyclic quadrilateral $ABCD$, $\angle A = 70^\circ$. Find the opposite angle $\angle C$.
Q6. एक चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में, $\angle A = 70^\circ$ है। विपरीत कोण $\angle C$ ज्ञात कीजिए।
(A) $70^\circ$(A) $70^\circ$
(B) $90^\circ$(B) $90^\circ$
(C) $110^\circ$(C) $110^\circ$
(D) $140^\circ$(D) $140^\circ$
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Correct Option: (C)सही विकल्प: (C)

Step-by-Step Solution: In a cyclic quadrilateral, opposite angles sum to $180^\circ$. Thus, $\angle A + \angle C = 180^\circ \implies 70^\circ + \angle C = 180^\circ \implies \angle C = 110^\circ$.
चरण-दर-चरण हल: चक्रीय चतुर्भुज में, विपरीत कोणों का योग $180^\circ$ होता है। इस प्रकार, $\angle A + \angle C = 180^\circ \implies 70^\circ + \angle C = 180^\circ \implies \angle C = 110^\circ$।
Topper's Shortcut: Instantly subtract $70^\circ$ from $180^\circ$ mentally.
टॉपर शॉर्टकट: मन में तुरंत $180^\circ$ में से $70^\circ$ घटाएं।
Q7. The area of a square is $196\text{ cm}^2$. What is the length of its diagonal?
Q7. एक वर्ग का क्षेत्रफल $196\text{ cm}^2$ है। इसके विकर्ण की लंबाई क्या है?
(A) $14\sqrt{2}\text{ cm}$(A) $14\sqrt{2}\text{ cm}$
(B) $14\text{ cm}$(B) $14\text{ cm}$
(C) $28\text{ cm}$(C) $28\text{ cm}$
(D) $7\sqrt{2}\text{ cm}$(D) $7\sqrt{2}\text{ cm}$
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Correct Option: (A)सह�� विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Side $a = \sqrt{196} = 14\text{ cm}$. Diagonal of square = $a\sqrt{2} = 14\sqrt{2}\text{ cm}$. Alternatively, Area = $\frac{1}{2}d^2 \implies 196 = \frac{1}{2}d^2 \implies d^2 = 392 \implies d = \sqrt{196 \times 2} = 14\sqrt{2}\text{ cm}$.
चरण-दर-चरण हल: भुजा $a = \sqrt{196} = 14\text{ cm}$। वर्ग का विकर्ण = $a\sqrt{2} = 14\sqrt{2}\text{ cm}$। वैकल्पिक रूप से, क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}d^2 \implies 196 = \frac{1}{2}d^2 \implies d^2 = 392 \implies d = \sqrt{196 \times 2} = 14\sqrt{2}\text{ cm}$।
Topper's Shortcut: Side is $14$, so diagonal is simply side times $\sqrt{2}$.
टॉपर शॉर्टकट: भुजा $14$ है, इसलिए विकर्ण केवल भुजा गुना $\sqrt{2}$ है।
Q8. If the diagonals of a quadrilateral are $12\text{ cm}$ and $16\text{ cm}$ and they intersect at right angles, what is the area of the quadrilateral?
Q8. यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण $12\text{ cm}$ और $16\text{ cm}$ हैं और वे समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो चतुर्भुज का क्षेत्रफल क्या है?
(A) $96\text{ cm}^2$(A) $96\text{ cm}^2$
(B) $192\text{ cm}^2$(B) $192\text{ cm}^2$
(C) $48\text{ cm}^2$(C) $48\text{ cm}^2$
(D) $84\text{ cm}^2$(D) $84\text{ cm}^2$
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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Area of any quadrilateral with orthogonal diagonals = $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 6 \times 16 = 96\text{ cm}^2$.
चरण-दर-चरण हल: ऑर्थोगोनल विकर्णों वाले किसी भी चतुर्भुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 6 \times 16 = 96\text{ cm}^2$।
Topper's Shortcut: Apply formula $\frac{1}{2}d_1d_2$ directly as orthogonal diagonals property holds for rhombus, kite, and any quadrilateral with perpendicular diagonals.
टॉपर शॉर्टकट: सीधे सूत्र $\frac{1}{2}d_1d_2$ लागू करें क्योंकि ऑर्थोगोनल विकर्ण गुण समचतुर्भुज, पतंग और लंबवत विकर्ण वाले किसी भी चतुर्भुज के लिए मान्य है।
Q9. The ratio of two adjacent sides of a parallelogram is $5:3$ and its perimeter is $64\text{ cm}$. Find the length of the longer side.
Q9. एक समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाओं का अनुपात $5:3$ है और इसका परिमाप $64\text{ cm}$ है। लंबी भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
(A) $15\text{ cm}$(A) $15\text{ cm}$
(B) $20\text{ cm}$(B) $20\text{ cm}$
(C) $25\text{ cm}$(C) $25\text{ cm}$
(D) $30\text{ cm}$(D) $30\text{ cm}$
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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: Perimeter = $2(a + b) \implies 2(5x + 3x) = 64 \implies 16x = 64 \implies x = 4$. Longer side = $5x = 5 \times 4 = 20\text{ cm}$.
चरण-दर-चरण हल: परिमाप = $2(a + b) \implies 2(5x + 3x) = 64 \implies 16x = 64 \implies x = 4$। लंबी भुजा = $5x = 5 \times 4 = 20\text{ cm}$।
Topper's Shortcut: Semi-perimeter $a + b = 32$. Divide $32$ in ratio $5:3 \implies \frac{5}{8} \times 32 = 20$.
टॉपर शॉर्टकट: अर्ध-परिमाप $a + b = 32$ है। $32$ को $5:3$ के अनुपात में विभाजित करें $\implies \frac{5}{8} \times 32 = 20$।
Q10. If the midpoints of the sides of a quadrilateral are joined in order, what type of quadrilateral is always formed?
Q10. यदि किसी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्यबिंदुओं को क्रम में मिलाया जाए, तो हमेशा कि��� प्रकार का चतुर्भुज बनता है?
(A) Square(A) वर्ग
(B) Rectangle(B) आयत
(C) Parallelogram(C) समांतर चतुर्भुज
(D) Rhombus(D) समचतुर्भुज
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Correct Option: (C)सही विकल्प: (C)

Step-by-Step Solution: By Varignon's Theorem, joining the midpoints of any quadrilateral in order produces a parallelogram because opposite sides of the inner figure are parallel to the diagonals of the original quadrilateral.
चरण-दर-चरण हल: वरिगॉन प्रमेय के अनुसार, किसी भी चतुर्भुज के मध्यबिंदुओं को क्रम में मिलाने पर एक समांतर चतुर्भुज बनता है क्योंकि आंतरिक आकृति की विपरीत भुजाएँ मूल चतुर्भुज के विकर्णों के समांतर होती हैं।
Topper's Shortcut: Direct standard theorem application (Varignon's Theorem). Remember: Any quadrilateral $\rightarrow$ Parallelogram.
टॉपर शॉर्टकट: प्रत्यक्ष मानक प्रमेय अनुप्रयोग (वरिगॉन प्रमेय)। याद रखें: कोई भी चतुर्भुज $\rightarrow$ समांतर चतुर्भुज।