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Relationships Between Numbers

Complete 5-Tab SSC CGL Guide: Theory, Shortcuts, Practice MCQs, PYQs & Revision Notes.

Comprehensive Theory & Basics: Relationships Between Numbersव्यापक सिद्धांत और बुनियादी बातें: संख्याओं के बीच संबंध

Quick Overviewत्वरित अवलोकन

The topic "Relationships Between Numbers" forms the core of quantitative aptitude in competitive exams like SSC CGL. It deals with understanding how numbers relate through arithmetic operations, prime factorizations, ratios, powers, LCM, HCF, and digits of a number. Mastery of these concepts ensures speed and accuracy in solving complex algebraic word problems and number-system puzzles.

एसएससी सीजीएल (SSC CGL) जैसी प्रतियोगी परीक्षाओं में "संख्याओं के बीच संबंध" (Relationships Between Numbers) विषय मात्रात्मक योग्यता का मुख्य आधार है। यह इस बात को समझने से संबंधित है कि संख्याएं अंकगणितीय संक्रियाओं, अभाज्य गुणनखंडन, अनुपात, घात, एलसीएम (LCM), एचसीएफ (HCF) और किसी संख्या के अंकों के माध्यम से कैसे संबंधित हैं। इन अवधारणाओं में ��हारत हासिल करने से जटिल बीजगणितीय शब्दों की समस्याओं और संख्या-प्रणाली की पहेलियों को हल करने में गति और सटीकता सुनिश्चित होती है।

Learning Objectivesसीखने के उद्देश्य

Master fundamental rules connecting two or more numbers (e.g., $\text{HCF} \times \text{LCM} = Product$). दो या दो से अधिक संख्याओं को जोड़ने वाले मौलिक नियमों में महारत हासिल करना (जैसे $\text{HCF} \times \text{LCM} = \text{गुणनफल}$)।
Understand digit properties and manipulation of two/three-digit numbers. अंक गुणों और दो/तीन अंकों की संख्याओं के हेरफेर को समझना।
Apply divisibility rules and algebraic identities to find unknown numbers. अज्ञात संख्याओं को खोजने के लिए विभाज्यता नियमों और बीजगणितीय सर्वसमिकाओं को लागू करना।
Solve complex word problems efficiently using direct and indirect relationships. प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष संबंधों का उपयोग करके जटिल शब्द समस्याओं को कुशलतापूर्वक हल करना।

Concept Introductionअवधारणा परिचय

Numbers do not exist in isolation; they are bound by mathematical properties. In SSC CGL, questions often present unknown quantities tied together by equations, sums, differences, squares, or ratios. Recognizing these structural patterns allows candidates to bypass lengthy traditional methods and arrive at answers within seconds.

संख्याएं अलग-थलग मौजूद नहीं हैं; वे गणितीय गुणों से बंधी हैं। एसएससी सीजीएल में, प्रश्न अक्सर समीकरणों, योग, अंतर, वर्ग या अनुपात द्वारा एकसाथ जुड़ी अज्ञात मात्राओं को प्रस्तुत करते हैं। इन संरचनात्मक पैटर्न को पह��ानने से उम्मीदवारों को लंबी पारंपरिक विधियों को दरकिनार करने और सेकंड के भीतर उत्तरों तक पहुंचने में मदद मिलती है।

Real-Life Applicationsवास्तविक जीवन के अनुप्रयोग

Number relationships are used in cryptography (securing data using prime number products), financial auditing (detecting data entry or calculation discrepancies using digit sums), inventory management (optimizing batch sizes using LCM/HCF), and scheduling.

संख्या संबंधों का उपयोग क्रिप्टोग्राफी (अभाज्य संख्या उत्पादों का उपयोग करके डेटा सुरक्षित करना), वित्तीय लेखा परीक्षा (अंक योग का उपयोग करके डेटा प्रविष्टि या गणना विसंगतियों का पता लगाना), इन्वेंट्री प्रबंधन (LCM/HCF का उपयोग करके बैच आकार को अनुकूलित करना) और शेड्यूलिंग में किया जाता है।

Definitionsपरिभाषाएं

HCF (Highest Common Factor): The greatest divisor that divides two or more numbers without leaving a remainder. HCF (महत्तम समापवर्तक): वह सबसे बड़ा भाजक जो बिना शेष छोड़े दो या दो से अधिक संख्याओं को विभाजित करता है।
LCM (Least Common Multiple): The smallest positive integer that is divisible by both or all given numbers. LCM (लघुत्तम समापवर्त्य): सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक जो दी गई दोनों या सभी संख्याओं से विभाज्य है।
Co-prime Numbers: Two numbers whose HCF is strictly 1. सह-अभाज्य संख्याएं: दो संख्याएं जिनका एचसीएफ (HCF) सख्ती से 1 होता है।

Important Terms Tableमहत्वपूर्ण शब्द तालिका

Termशब्द	Mathematical Representationगणितीय निरूपण	Descriptionविवरण
Two-Digit Numberदो अंकों की संख्या	$10x + y$$10x + y$	Where $x$ is the tens digit and $y$ is the units digit.जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
Reversed Numberउल्टी की गई संख्या	$10y + x$$10y + x$	Number formed by interchanging the digits.अंकों को आपस में बदलने से बनी संख्या।
Consecutive Numbersक्रमागत संख्याएं	$x, x+1, x+2, \dots$$x, x+1, x+2, \dots$	Integers following each other in order.एक के बाद एक क्रम में आने वाले पूर्णांक।

Formula Sheet Tableसूत्र शीट तालिका

Formula Nameसूत्र का नाम	Formulaसूत्र	Applicationअनुप्रयोग
HCF & LCM Product RuleHCF और LCM गुणनफल नियम	$a \times b = \text{HCF}(a,b) \times \text{LCM}(a,b)$$a \times b = \text{HCF}(a,b) \times \text{LCM}(a,b)$	For any two positive integers $a$ and $b$.किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए।
Sum of Reversed Digitsउल्टा किए गए अंकों का योग	$(10x + y) + (10y + x) = 11(x + y)$$(10x + y) + (10y + x) = 11(x + y)$	Always divisible by 11 and sum of digits.हमेशा 11 और अंकों के योग से विभाज्य।
Difference of Reversed Digitsउल्टा किए गए अंकों का अंतर	$(10x + y) - (10y + x) = 9(x - y)$$(10x + y) - (10y + x) = 9(x - y)$	Always divisible by 9 and difference of digits.हमेशा 9 और अंकों के अंतर से विभाज्य।

Derivationsव्युत्पत्तियां

Consider a two-digit number $N = 10x + y$. If the digits are reversed, the new number is $N' = 10y + x$. Adding both numbers: $N + N' = (10x + y) + (10y + x) = 11x + 11y = 11(x + y)$. This proves that the sum of any two-digit number and the number formed by reversing its digits is always a multiple of 11.

दो अंकों की संख्या $N = 10x + y$ पर विचार करें। यदि अंकों को उलट दिया जाए, तो नई संख्या $N' = 10y + x$ होगी। दोनों संख्याओ�� को जोड़ने पर: $N + N' = (10x + y) + (10y + x) = 11x + 11y = 11(x + y)$। यह साबित करता है कि किसी भी दो-अंकों की संख्या और उसके अंकों को उलटने से बनी संख्या का योग हमेशा 11 का गुणج होता है।

Common Mistakes & Pitfallsसामान्य गलतियां और कमियां

Assuming $\text{HCF}(a,b) \times \text{LCM}(a,b)$ works for three numbers directly ($a \times b \times c \neq \text{HCF} \times \text{LCM}$). यह मान लेना कि $\text{HCF}(a,b) \times \text{LCM}(a,b)$ सीधे तीन संख्याओं के लिए काम करता है ($a \times b \times c \neq \text{HCF} \times \text{LCM}$)।
Confusing the tens digit and units digit representation ($10x+y$ vs $x+10y$). दहाई के अंक और इकाई के अंक के निरूपण को आपस में मिला देना ($10x+y$ बनाम $x+10y$)।

Shortcuts & Topper Tricksशॉर्टकट और टॉपर ट्रिक्स

1. The Ratio & HCF Trick for Two Numbers1. दो संख्याओं के लिए अनुपात और HCF ट्रिक

Concept: If two numbers are in the ratio $a:b$ and their HCF is $H$, the numbers are always $H \cdot a$ and $H \cdot b$, and their LCM is $H \cdot a \cdot b$.
Topper Shortcut: Instead of assuming variables, directly write numbers as $Ha$ and $Hb$. If sum is given: $H(a+b) = \text{Sum}$.

अवधारणा: यदि दो संख्याएं $a:b$ के अनुपात में हैं और उनका HCF $H$ है, तो संख्याएं हमेशा $H \cdot a$ और $H \cdot b$ होती हैं, और उनका LCM $H \cdot a \cdot b$ होता है।
टॉपर शॉर्टकट: चर मानने के बजाय, सीधे संख्याओं को $Ha$ और $Hb$ लिखें। यदि योग दिया गया है: $H(a+b) = \text{Sum}$।

2. Two-Digit Number Reversal Sum/Difference Shortcut2. दो अंकों की संख्या के पलटने का योग/अंतर शॉर्टकट

Concept: If the difference between a two-digit number and the number with reversed digits is given, divide the difference by 9 to get the difference between the digits $(x - y)$. If sum is given, divide by 11 to get $(x + y)$.
Topper Shortcut: $\text{Difference between digits} = \frac{\text{Given Difference}}{9}$.

अवधारणा: यदि दो अंकों की संख्या और उसके उल्टे अंकों वाली संख्या के बीच का अंतर दिया गया है, तो अंकों के बीच का अंतर $(x - y)$ प्राप्त करने के लिए अंतर को 9 से विभाजित करें। यदि योग दिया गया है, तो $(x + y)$ प्राप्त करने के लिए 11 से विभाजित करें।
टॉपर शॉर्टकट: $\text{अ��कों के बीच का अंतर} = \frac{\text{दिया गया अंतर}}{9}$।

3. Finding Missing Digits via Divisibility3. विभाज्यता के माध्यम से लुप्त अंकों को खोजना

Concept: When a number contains variables like $4x56y$ and is divisible by 72, split 72 into co-primes 8 and 9. Apply divisibility of 8 on the last 3 digits to find $y$, then apply divisibility of 9 on the sum of digits to find $x$.
Topper Shortcut: Always check divisibility by 8 or 4 first (since it involves fewer digits), determine the last variable, then use the sum of digits rule for 9 or 3.

अवधारणा: जब किसी संख्या में $4x56y$ जैसे चर होते हैं और वह 72 से विभाज्य होती है, तो 72 को सह-अभाज्य 8 और 9 में विभाजित करें। $y$ खोजने के लिए अंतिम 3 अंकों पर 8 की विभाज्यता लागू करें, फिर $x$ खोजने के लिए अंकों के योग पर 9 की विभाज्यता लागू करें।
टॉपर शॉर्टकट: हमेशा पहले 8 या 4 से विभाज्यता की जांच करें (क्योंकि इसमें कम अंक शामिल होते हैं), अंतिम चर निर्धारित करें, फिर 9 या 3 के लिए अंकों के योग के नियम का उपयोग करें।

4. Digital Root / Digit Sum Method4. डिजिटल रूट / अंक योग विधि

Concept: The sum of digits of a number modulo 9 remains invariant under multiplication, addition, and subtraction.
Topper Shortcut: Cross out 9s and numbers summing to 9 in expressions to rapidly check equation balances in options.

अवधारणा: गुणन, जोड़ और घटाव के तहत किसी संख्या के अंकों का योग मॉड्यूलो 9 अपरिवर्तित रहता है।
टॉपर शॉर्टकट: विकल्पों में समीकरण संतुलन की तेजी से जांच करने के लिए अभिव्यक्तियों में 9 और 9 जोड़ने वाली संख्याओं को काट दें।

Revision Notes & 15 SEO FAQs (Section 5)संशोधन नोट्स और 15 एसईओ अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (भाग 5)

Advanced Summary Notesउन्नत सारांश नोट्स

Relationships between numbers combine algebraic identities with prime factorization properties. संख्याओं के बीच के संबंध बीजगणितीय सर्वसमिकाओं को अभाज्य गुणनखंडन गुणों के साथ जोड़ते हैं।
Always verify if numbers are co-prime before applying advanced ratio-based LCM/HCF formulas. उन्नत अनुपात-आधारित LCM/HCF सूत्र लागू करने से पहले हमेशा जांच लें कि संख्याएं सह-अभाज्य हैं या नहीं।

Quick Formula Reviewत्वरित सूत्र समीक्षा

$(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$$(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
$\text{Fraction HCF} = \frac{\text{HCF of Numerators}}{\text{LCM of Denominators}}$$\text{भिन्न HCF} = \frac{\text{अंशों का HCF}}{\text{हरों का LCM}}$

FAQ Addendumअक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न परिशिष्ट

Q16: How to approach tricky word problems in SSC CGL?Q16: SSC CGL में पेचीदा शब्द समस्याओं से कैसे निपटें?

Ans: Break down sentences into equations variable by variable and check option elimination using digit sums.उत्तर: वाक्यों को चर-दर-चर समीकरणों में तोड़ें और अंक योग का उपयोग करके विकल्प उन्मूलन की जांच करें।
Q17: What is the significance of SJMaths content structure?Q17: SJMaths सामग्री संरचना का क्या महत्व है?

Ans: It provides bilingual, structured theory, topper tricks, and verified practice questions for comprehensive preparation.उत्तर: यह व्यापक तैयारी के लिए द्विभाषी, संरचित सिद्धांत, टॉपर ट्रिक्स और सत्यापित अभ्यास प्रश्न प्रदान करता है।

Final Words of Wisdomबुद्धिमत्ता के अंतिम शब्द

Consistency and pattern recognition are your greatest allies in cracking SSC CGL Quantitative Aptitude. Keep practicing and review your solutions critically!

एसएससी सीजीएल मात्रात्मक योग्यता क�� क्रैक करने में निरंतरता और पैटर्न पहचान आपके सबसे बड़े सहयोगी हैं। अभ्यास करते रहें और अपने समाधानों की समालोचनात्मक समीक्षा करें!

Revision Notes & 15 SEO FAQsसंशोधन नोट्स और 15 एसईओ अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

1-Page Revision Notes1-पेज संशोधन नोट्स

Product of two numbers = $\text{HCF} \times \text{LCM}$. This rule strictly applies to pairs of numbers, not triplets. दो संख्याओं का गुणनफल = $\text{HCF} \times \text{LCM}$। यह नियम सख्ती से संख्याओं के जोड़ों पर लागू होता है, त्रिक पर नहीं।
A two-digit number and its reverse sum is always divisible by 11; their difference is always divisible by 9. दो अंकों की संख्या और उसके उ��्टे का योग हमेशा 11 से विभाज्य होता है; उनका अंतर हमेशा 9 से विभाज्य होता है।
If numbers are $ax$ and $bx$ where $a, b$ are co-prime, their LCM is $abx$ and HCF is $x$. यदि संख्याएं $ax$ और $bx$ हैं जहाँ $a, b$ सह-अभाज्य हैं, तो उनका LCM $abx$ और HCF $x$ है।

One Minute Revision Bulletsएक मिनट संशोधन बुलेट्स

HCF divides LCM completely.HCF, LCM को पूरी तरह से विभाजित करता है।
Sum of digits of a multiple of 9 is always a multiple of 9.9 के गुणज के अंकों का योग हमेशा 9 का गुणज होता है।
Co-prime numbers have an HCF of 1.सह-अभाज्य संख्याओं का HCF 1 होता है।
Any 3-digit number written twice ($xyzxyz$) is divisible by 7, 11, and 13.दो बार लिखी गई कोई भी 3-अंकों की संख्या ($xyzxyz$) 7, 11 और 13 से विभाज्य होती है।

Conceptual Interview Style Questionsवैचारिक साक्षात्कार शैली के प्रश्न

Q: Can two numbers have 15 as their HCF and 120 as their LCM? Why or why not?

Q: क्या दो संख्याओं का HCF 15 और LCM 120 हो सकता है? क्यों या क्यों नहीं?

Ans: Yes, because 120 is completely divisible by 15 ($120 \div 15 = 8$). The LCM must always be a multiple of the HCF.

उत्तर: हाँ, क्योंकि 120, 15 से पूरी तरह विभाज्य है ($120 \div 15 = 8$)। LCM हमेशा HCF का गुणज होना चाहिए।

15 SEO-Friendly Frequently Asked Questions (FAQs)अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)

Q1: What is the relation between HCF and LCM?Q1: HCF और LCM के बीच क्या संबंध है?

Ans: The product of two numbers is equal to the product of their HCF and LCM: $a \times b = \text{HCF} \times \text{LCM}$.उत्तर: दो संख्याओं का गुणनफल उनके HCF और LCM के गुणनफल के बराबर होता है: $a \times b = \text{HCF} \times \text{LCM}$।
Q2: How do you represent a two-digit number in algebra?Q2: बीजगणित में दो अंकों की संख्या को कैसे दर्शाते हैं?

Ans: It is represented as $10x + y$, where $x$ is the tens digit and $y$ is the units digit.उत्तर इसे $10x + y$ के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
Q3: Why is the sum of a two-digit number and its reverse divisible by 11?Q3: दो अंकों की संख्या और उसके उल्टे का योग 11 से क्यों विभाज्य होता है?

Ans: Because $(10x+y) + (10y+x) = 11(x+y)$, which has 11 as a direct factor.उत्तर: क्योंकि $(10x+y) + (10y+x) = 11(x+y)$, जिसमें 11 एक प्रत्��क्ष गुणनखंड है।
Q4: Can two numbers have 14 as HCF and 200 as LCM?Q4: क्या दो संख्याओं का HCF 14 और LCM 200 हो सकता है?

Ans: No, because 200 is not completely divisible by 14. LCM must be a multiple of HCF.उत्तर: नहीं, क्योंकि 200, 14 से पूरी तरह विभाज्य नहीं है। LCM को HCF का गुणज होना चाहिए।
Q5: What are co-prime numbers?Q5: सह-अभाज्य संख्याएं क्या हैं?

Ans: Two numbers whose highest common factor is 1 are called co-prime or relatively prime numbers.उत्तर: दो संख्याएं जिनका महत्तम समापवर्तक 1 होता है, सह-अभाज्य या परस्पर अभाज्य संख्याएं कहलाती हैं।
Q6: How to find missing digits in SSC CGL number system questions?Q6: SSC CGL संख्या प्रणाली के प्रश्नों में लुप्त अंकों को कैसे खोजें?

Ans: By applying standard divisibility rules (like 8, 9, 11) combined with algebraic equations.उत्तर: बीजगणितीय समीकरणों के साथ मानक विभाज्यता नियमों (जैसे 8, 9, 11) को लागू करके।
Q7: What is the difference between factors and multiples?Q7: गुणनखंड और गुणज के बीच क्या अंतर है?

Ans: Factors are exact divisors of a number (finite), while multiples are results of multiplying the number by integers (infinite).उत्तर: गुणनखंड किसी संख्या के सटीक भाजक होते हैं (प��िमित), जबकि गुणज किसी संख्या को पूर्णांकों से गुणा करने के परिणाम होते हैं (अनंत)।
Q8: How do you solve questions based on consecutive numbers?Q8: क्रमागत संख्याओं पर आधारित प्रश्नों को कैसे हल करें?

Ans: Assume the numbers as $x, x+1, x+2$ and form a linear or quadratic equation based on their sum or product.उत्तर: संख्याओं को $x, x+1, x+2$ मानें और उनके योग या गुणनफल के आधार पर रैखिक या द्विघात समीकरण बनाएं।
Q9: Is 1 a prime number?Q9: क्या 1 एक अभाज्य संख्या है?

Ans: No, 1 is neither prime nor composite because it has only one factor.उत्तर: नहीं, 1 न तो अभाज्य है और न ही भाज्य क्योंकि इसका केवल एक गुणनखंड होता है।
Q10: What is the HCF of two prime numbers?Q10: दो अभाज्य संख्याओं का HCF क्या होता है?

Ans: Always 1.उत्तर: हमेशा 1।
Q11: What is the LCM of two prime numbers?Q11: दो अभाज्य संख्याओं का LCM क्या होता है?

Ans: Their product.उत्तर: उनका गुणनफल।
Q12: How are number relationships tested in SSC CGL Tier-2?Q12: SSC CGL टियर -2 में संख्या संबंधों का परीक्षण कैसे किया जाता है?

Ans: Through advanced word problems involving ratios of numbers, sum of squares, and remainder theorems.उत्��र: संख्याओं के अनुपात, वर्गों के योग और शेषफल प्रमेय से जुड़ी उन्नत शब्द समस्याओं के माध्यम से।
Q13: Can the HCF of two numbers be greater than their LCM?Q13: क्या दो संख्याओं का HCF उनके LCM से बड़ा हो सकता है?

Ans: Never. HCF is always less than or equal to LCM.उत्तर: कभी नहीं। HCF हमेशा LCM से कम या उसके बराबर होता है।
Q14: How does the digital sum shortcut work?Q14: डिजिटल सम शॉर्टकट कैसे काम करता है?

Ans: By summing digits until a single digit is reached, preserving modulo 9 arithmetic across operations.उत्तर: संक्रियाओं में मॉड्यूलो 9 अंकगणित को संरक्षित करते हुए, एकल अंक तक पहुंचने तक अंकों का योग करके।
Q15: Why is number system weightage high in SSC exams?Q15: एसएससी परीक्षाओं में संख्या प्रणाली का वेटेज क्यों अधिक है?

Ans: Because it tests foundational arithmetic logic, calculation speed, and conceptual clarity required in public administration.उत्तर: क्योंकि यह लोक प्रशासन में आवश्यक बुनियादी अंकगणितीय तर्क, गणना गति और वैचारिक स्पष्टता का परीक्षण करता है।

Internal Links & External Referencesआंतरिक लिंक और बाहरी संदर्भ

Related SJMaths Modules: LCM & HCF Shortcuts, Divisibility Rules Masterclass, Number System Advanced Algebra.संबंधित SJMaths मॉड्यूल: LCM और HCF शॉर्टकट, विभाज्यता नियम मास्टरक्लास, नंबर सिस्टम एडवांस्ड अलजेब्रा।
External References: NCERT Class 10 Mathematics Chapter 1 (Real Numbers), Standard SSC CGL Tier-1/Tier-2 Archives.बाहरी संदर्भ: एनसीईआरटी कक्षा 10 गणित अध्याय 1 (वास्तविक संख्याएं), मानक एसएससी सीजीएल टियर-1/टियर-2 अभिलेखागार।

Conclusionनिष्कर्ष

Mastering relationships between numbers empowers aspirants to crack complex quantitative problems effortlessly. Regular practice of the shortcuts and conceptual frameworks detailed here guarantees top-tier performance in SSC CGL examinations.

संख्याओं के बीच के संबंधों में महारत हासिल करना उम्मीदवारों को जटिल मात्रात्मक समस्याओं को आसानी से हल करने में सक्षम बनाता है। यहां दिए गए शॉर्टकट और वैचारिक ढाँचों का नियमित अभ्यास एसएससी सीजीएल परीक्षाओं में शीर्ष स्तर का प्रदर्शन सुनिश्चित करता है।

Solved Practice MCQsहल किए गए अभ्यास बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)

Q1. The sum of two numbers is 40 and their difference is 4. What is the ratio of the two numbers?

Q1. दो संख्याओं का योग 40 है और उनका अंतर 4 है। दोनों संख्याओं का अनुपात क्या है?

(A) 11 : 9(A) 11 : 9

(B) 10 : 9(B) 10 : 9

(D) 11 : 10(D) 11 : 10

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Let the numbers be $x$ and $y$. Given $x + y = 40$ and $x - y = 4$. Adding both equations: $2x = 44 \implies x = 22$. Thus, $y = 40 - 22 = 18$. Ratio $= 22 : 18 = 11 : 9$.

चरण-दर-चरण हल: मान लीजिए संख्याएं $x$ और $y$ हैं। दिया गया है $x + y = 40$ और $x - y = 4$। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2x = 44 \implies x = 22$। अतः $y = 40 - 22 = 18$। अनुपात $= 22 : 18 = 11 : 9$।

Topper's Shortcut: Directly find numbers using $\frac{\text{Sum}+\text{Difference}}{2}$ and $\frac{\text{Sum}-\text{Difference}}{2} \implies \frac{44}{2} = 22$ and $\frac{36}{2} = 18$. Ratio = $22:18 = 11:9$.

टॉपर शॉर्टकट: $\frac{\text{Sum}+\text{Difference}}{2}$ और $\frac{\text{Sum}-\text{Difference}}{2}$ का उपयोग करके सीधे संख्याएं ज्ञात करें $\implies \frac{44}{2} = 22$ और $\frac{36}{2} = 18$। अनुपात = $22:18 = 11:9$।

Q2. The product of two co-prime numbers is 117. What is their LCM?

Q2. दो सह-अभाज्य संख्याओं का गुणनफल 117 है। उनका LCM क्या है?

(A) 13(A) 13

(B) 9(B) 9

(D) Cannot be determined(D) निर्धारित नहीं किया जा सकता

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Correct Option: (C)सही विकल्प: (C)

Step-by-Step Solution: For any two co-prime numbers, their HCF is 1. Since $\text{Product} = \text{HCF} \times \text{LCM}$, $117 = 1 \times \text{LCM} \implies \text{LCM} = 117$.

चरण-दर-चरण हल: किन्हीं दो सह-अभाज्य संख्याओं के लिए, उनका HCF 1 होता है। चूकि $\text{गुणनफल} = \text{HCF} \times \text{LCM}$ है, $117 = 1 \times \text{LCM} \implies \text{LCM} = 117$।

Topper's Shortcut: For co-prime numbers, LCM is always equal to their product. Mark 117 instantly!

टॉपर शॉर्टकट: सह-अभाज्य संख्याओं के लिए, LCM हमेशा उनके गुणनफल के बराबर होता है। तुरंत 117 चिह्नित करें!

Q3. The sum of a two-digit number and the number obtained by reversing its digits is 132. If the digits differ by 4, find the number.

Q3. दो अंकों की संख्या और उसके अंकों को उलटने से प्राप्त संख्या का योग 132 है। यदि अंकों का अंतर 4 है, तो संख्या ज्ञात कीजिए।

(A) 84(A) 84

(B) 48(B) 48

(D) 73(D) 73

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Correct Option: (C)सही विकल्प: (C)

Step-by-Step Solution: Sum formula: $11(x + y) = 132 \implies x + y = 12$. Given difference: $x - y = 4$. Solving both: $2x = 16 \implies x = 8$, $y = 4$. Thus, the number can be 84 (if $x=8$) or 48 (if $x=4$).

चरण-दर-चरण हल: योग सूत्र: $11(x + y) = 132 \implies x + y = 12$। दिया गया अंतर: $x - y = 4$। दोनों को हल करने पर: $2x = 16 \implies x = 8$, $y = 4$। अतः संख्या 84 (यदि $x=8$) या 48 (यदि $x=4$) हो सकती है।

Topper's Shortcut: $x+y = 132/11 = 12$. Since order wasn't specified as greater or smaller, both 84 and 48 satisfy the conditions.

टॉपर शॉर्टकट: $x+y = 132/11 = 12$। चूंकि क्रम को बड़ा या छोटा के रूप में निर्दिष्ट नहीं किया गया था, इसलिए 84 और 48 दोनों शर्तों को पूरा करते हैं।

Q4. The HCF and LCM of two numbers are 12 and 336 respectively. If one of the numbers is 84, the other is:

Q4. दो संख्याओं का HCF और LCM क्रमशः 12 और 336 है। यदि उनमें से एक संख्या 84 है, तो दूसरी संख्या क्या है?

(A) 36(A) 36

(B) 48(B) 48

(D) 96(D) 96

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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: Using $\text{Product} = \text{HCF} \times \text{LCM}$, let the other number be $b$. $84 \times b = 12 \times 336 \implies b = \frac{12 \times 336}{84} = \frac{336}{7} = 48$.

चरण-दर-चरण हल: $\text{गुणनफल} = \text{HCF} \times \text{LCM}$ का उपयोग करते हु��, मान लीजिए दूसरी संख्या $b$ है। $84 \times b = 12 \times 336 \implies b = \frac{12 \times 336}{84} = \frac{336}{7} = 48$।

Topper's Shortcut: Cancel 12 and 84 directly to get 7 in the denominator, then $336/7 = 48$ instantly.

टॉपर शॉर्टकट: हर में 7 प्राप्त करने के लिए 12 और 84 को सीधे काटें, फिर तुरंत $336/7 = 48$ प्राप्त करें।

Q5. If the sum of two numbers is 25 and their product is 144, find the difference between the two numbers.

Q5. यदि दो संख्याओं का योग 25 है और उनका गुणनफल 144 है, तो दोनों संख्याओं के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए।

(A) 5(A) 5

(B) 7(B) 7

(D) 11(D) 11

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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: We know that $(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy$. Substituting values: $(x - y)^2 = (25)^2 - 4(144) = 625 - 576 = 49$. Thus, $x - y = \sqrt{49} = 7$.

चरण-दर-चरण हल: हम जानते हैं कि $(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy$। मान रखने पर: $(x - y)^2 = (25)^2 - 4(144) = 625 - 576 = 49$। अतः $x - y = \sqrt{49} = 7$।

Topper's Shortcut: Memorize algebraic identity $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$. Here $625 - 576 = 49$, root is 7.

टॉपर शॉर्टकट: बीजगणितीय सर्वसमिका $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$ को याद रखें। यहाँ $625 - 576 = 49$ है, वर्गमूल 7 है।

Q6. What is the smallest number which when divided by 12, 15, and 20 leaves a remainder of 4 in each case?

Q6. वह सबसे छोटी संख्या कौन सी है जिसे 12, 15 और 20 से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में 4 शेष बचता है?

(A) 64(A) 64

(B) 60(B) 60

(D) 74(D) 74

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: First, find the LCM of 12, 15, and 20. $\text{LCM} = 60$. The required number is $\text{LCM} + \text{remainder} = 60 + 4 = 64$.

चरण-दर-चरण हल: सबसे पहले, 12, 15 और 20 का LCM ज्ञात करें। $\text{LCM} = 60$। अभीष्ट संख्या $\text{LCM} + \text{शेषफल} = 60 + 4 = 64$ है।

Topper's Shortcut: $\text{Number} = \text{LCM}(12, 15, 20) + 4 = 60 + 4 = 64$.

टॉपर शॉर्टकट: $\text{संख्या} = \text{LCM}(12, 15, 20) + 4 = 60 + 4 = 64$।

Q7. Two numbers are in the ratio $3:4$ and their LCM is 180. Find the sum of the two numbers.

Q7. दो संख्याएं $3:4$ के अनुपात में हैं और उनका LCM 180 है। दोनों संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

(A) 105(A) 105

(B) 120(B) 120

(D) 150(D) 150

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Let the numbers be $3x$ and $4x$. Their LCM is $3 \times 4 \times x = 12x$. Given $12x = 180 \implies x = 15$. The sum of the numbers is $3x + 4x = 7x = 7 \times 15 = 105$.

चरण-दर-चरण हल: मान लीजिए ��ंख्याएं $3x$ और $4x$ हैं। उनका LCM $3 \times 4 \times x = 12x$ है। दिया गया है $12x = 180 \implies x = 15$। संख्याओं का योग $3x + 4x = 7x = 7 \times 15 = 105$ है।

Topper's Shortcut: Sum = $7 \times (\text{LCM} / \text{Product of ratios}) = 7 \times (180 / 12) = 7 \times 15 = 105$.

टॉपर शॉर्टकट: योग = $7 \times (\text{LCM} / \text{अनुपातों का गुणनफल}) = 7 \times (180 / 12) = 7 \times 15 = 105$।

Q8. If a number $786x3$ is divisible by 9, what is the value of $x$?

Q8. यदि कोई संख्या $786x3$ 9 से विभाज्य है, तो $x$ का मान क्या है?

(A) 2(A) 2

(B) 3(B) 3

(D) 5(D) 5

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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: Sum of digits = $7 + 8 + 6 + x + 3 = 24 + x$. For the number to be divisible by 9, $24 + x$ must be the next multiple of 9, which is 27. Thus, $24 + x = 27 \implies x = 3$.

चरण-दर-चरण हल: अंकों का योग = $7 + 8 + 6 + x + 3 = 24 + x$। संख्या के 9 से विभाज्य होने के लिए, $24 + x$ को 9 का अगला गुणज होना चाहिए, जो कि 27 है। अतः $24 + x = 27 \implies x = 3$।

Topper's Shortcut: Sum of digits modulo 9: $7+8+6+3 = 24 \equiv 6$ (mod 9). $6 + x \equiv 0 \pmod 9 \implies x = 3$.

टॉपर शॉर्टकट: अंकों का योग मॉड्यूलो 9: $7+8+6+3 = 24 \equiv 6$ (mod 9)। $6 + x \equiv 0 \pmod 9 \implies x = 3$।

Q9. The sum of the squares of two numbers is 386, and the difference between them is 4. Find the product of the two numbers.

Q9. दो संख्याओं के वर्गों का योग 386 है, और उनके बीच का अंतर 4 है। दोनों संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

(A) 180(A) 180

(B) 185(B) 185

(D) 195(D) 195

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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: Given $x^2 + y^2 = 386$ and $x - y = 4$. Squaring the second equation: $(x - y)^2 = 4^2 \implies x^2 + y^2 - 2xy = 16$. Substitute $x^2 + y^2 = 386$: $386 - 2xy = 16 \implies 2xy = 370 \implies xy = 185$.

चरण-दर-चरण हल: दिया गया है $x^2 + y^2 = 386$ और $x - y = 4$। दूसरे समीकरण का वर्ग करने पर: $(x - y)^2 = 4^2 \implies x^2 + y^2 - 2xy = 16$। $x^2 + y^2 = 386$ रखने पर: $386 - 2xy = 16 \implies 2xy = 370 \implies xy = 185$।

Topper's Shortcut: Use $2xy = (x^2+y^2) - (x-y)^2 \implies 386 - 16 = 370 \implies xy = 185$.

टॉपर शॉर्टकट: $2xy = (x^2+y^2) - (x-y)^2 \implies 386 - 16 = 370 \implies xy = 185$ का उपयोग करें।

Q10. If three numbers are in the ratio $1:2:3$ and their HCF is 12, the numbers are:

Q10. यदि तीन संख्याएं $1:2:3$ के अनुपात میں हैं और उनका HCF 12 है, तो संख्याएं हैं:

(A) 12, 24, 36(A) 12, 24, 36

(B) 6, 12, 18(B) 6, 12, 18

(D) 12, 36, 48(D) 12, 36, 48

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: When numbers are in ratio $a:b:c$ with HCF $H$, the numbers are $Ha, Hb, Hc$. Here $H = 12$, ratio is $1:2:3$. Numbers = $12 \times 1, 12 \times 2, 12 \times 3 = 12, 24, 36$.

चरण-दर-चरण हल: जब संख्याएं HCF $H$ के साथ अनुपात $a:b:c$ में होती हैं, तो संख्याएं $Ha, Hb, Hc$ होती हैं। यहाँ $H = 12$, अनुपात $1:2:3$ है। संख्याएं = $12 \times 1, 12 \times 2, 12 \times 3 = 12, 24, 36$।

Topper's Shortcut: Directly multiply each ratio term by HCF: $1 \times 12 = 12, 2 \times 12 = 24, 3 \times 12 = 36$.

टॉपर शॉर्टकट: अनुपात के प्रत्येक पद को सीधे HCF से गुणा करें: $1 \times 12 = 12, 2 \times 12 = 24, 3 \times 12 = 36$।

Previous Year Questions (PYQs) Analysisपिछले वर्ष के प्रश्न (PYQs) विश्लेषण

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SSC CGL 2023एसएससी सीजीएल 2023	Tier-1टियर-1	HCF & LCM Product RuleHCF और LCM ��ुणनफल नियम	$\text{Product} = \text{HCF} \times \text{LCM}$$\text{गुणनफल} = \text{HCF} \times \text{LCM}$
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