Home SSC CGL Syllabus Statistics Random Variable Expectation Variance Joint Distribution

Random Variable Expectation Variance Joint Distribution

Complete 5-Tab SSC CGL Statistics Guide: Theory, Shortcuts, Notes & FAQs, Practice MCQs, & PYQs.

Concept & Detailed Theoryसंकल्पना और विस्तृत सिद्धांत

1. Quick Overview1. त्वरित अवलोकन

Random variables, mathematical expectation, variance, and joint probability distributions form the absolute core of probability theory and statistical inference for SSC CGL Paper-III (Statistics). Mastering these concepts allows candidates to analyze data distributions, calculate expected rewards or risks, and understand relationships between multiple random variables.

यादृच्छिक चर (Random Variables), गणितीय प्रत्याशा (Mathematical Expectation), प्रसरण (Variance), और संयुक्त प्रायिकता वितरण (Joint Probability Distributions) SSC CGL पेपर-III (सांख्यिकी) के लिए प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकीय अनुमान के मुख्य आधार हैं। इन अवधारणाओं में महारत हासिल करने से उम्मीदवारों को डेटा वितरण का विश्लेषण करने, अपेक्षित पुरस्कार या जोखिम की गणना करने और कई यादृच्छिक चर के बीच संबंधों को समझने में मदद मिलती है।

2. Learning Objectives2. अधिगम उद्देश्य

Define discrete and continuous random variables and understand their probability mass/density functions. विविक्त और सतत यादृच्छिक चर को परिभाषित करना और उनके प्रायिकता द्रव्यमान/घनत्व कार्यों को समझना।
Compute mathematical expectation ($E(X)$), variance ($Var(X)$), and standard deviation. गणितीय प्रत्याशा ($E(X)$), प्रसरण ($Var(X)$), और मानक विचलन की गणना करना।
Apply properties of expectation and variance for linear combinations of random variables. यादृच्छिक चर के रैखिक संयोजनों के लिए प्रत्याशा और प्रसरण के गुणों को लागू करना।
Analyze joint, marginal, and conditional distributions along with covariance and correlation. सहसंयोजन और सहसंबंध के साथ संयुक्त, सीमांत और सशर्त वितरण का विश्लेषण करना।

3. Concept Introduction3. संकल्पना परिचय

Random Variable

यादृच��छिक चर

A random variable $X$ is a real-valued function whose domain is the sample space $S$ of a random experiment. It maps outcomes of a random process to real numbers. It is broadly classified into:

एक यादृच्छिक चर $X$ एक वास्तविक मूल्य वाला फलन है जिसका डोमेन किसी यादृच्छिक प्रयोग का नमूना स्थान $S$ है। यह यादृच्छिक प्रक्रिया के परिणामों को वास्तविक संख्याओं में मैप करता है। इसे मुख्य रूप से वर्गीकृत किया जाता है:

Discrete Random Variable: Takes a countable number of distinct values with a Probability Mass Function (PMF) $P(X = x) = p(x)$. विविक्त यादृच्छिक चर: प्रायिकता द्रव्यमान फलन (PMF) $P(X = x) = p(x)$ के साथ विशिष्ट मानों की एक गणनीय संख्या लेता है।
Continuous Random Variable: Takes values in an interval with a Probability Density Function (PDF) $f(x)$ such that $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$. सतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) $f(x)$ के साथ एक अंतराल में मान लेता है जैसे कि $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$।

Mathematical Expectation

गणितीय प्रत्याशा

Expectation represents the theoretical average or expected value of a random variable over a large number of trials. For discrete $X$, $E(X) = \sum x p(x)$. For continuous $X$, $E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$.

प्रत्याशा बड़ी संख्या में परीक्षणों पर यादृच्छिक चर के सैद्धांतिक औसत या अपेक्षित मूल्य का प्रतिनिधित्व करती है। विविक्त $X$ के लिए, $E(X) = \sum x p(x)$। सतत $X$ के लिए, $E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$।

Variance and Covariance

प्रसरण और सहप्रसरण

Variance measures the dispersion of a random variable around its mean: $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$. Covariance measures the joint variability of two random variables $X$ and $Y$: $Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$.

प्��सरण अपने माध्य के चारों ओर एक यादृच्छिक चर के फैलाव को मापता है: $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$। सहप्रसरण दो यादृच्छिक चरों $X$ और $Y$ की संयुक्त परिवर्तनशीलता को मापता है: $Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$।

4. Real-Life Applications4. वास्तविक जीवन के अनुप्रयोग

Domainक्षेत्र	Application of Expectation & Varianceप्रत्याशा और प्रसरण का अनुप्र��ोग
Insurance & Financeबीमा और वित्त	Calculating expected claims and portfolio risk variance.अपेक्षित दावों और पोर्टफोलियो जोखिम प्रसरण की गणना करना।
Quality Controlगुणवत्ता नियंत्रण	Assessing manufacturing defect rates using discrete distributions.विविक्त वितरण का उपयोग करके निर्माण दोष दरो�� का आकलन करना।
Economicsअर्थशास्त्र	Utility maximization and market demand forecasting.उपयोगिता अधिकतमकरण और बाजार मांग पूर्वानुमान।

5. Important Terms & Definitions5. महत्वपूर्ण शब्द और परिभाषाएँ

Termशब्द	Definition / Mathematical Expressionपरिभाषा / गणितीय अभिव्यक्ति
Probability Mass Function (PMF)प्रायिकता द्रव्यमान फलन (PMF)	$P(X = x) \geq 0$, $\sum P(X = x) = 1$$P(X = x) \geq 0$, $\sum P(X = x) = 1$
Probability Density Function (PDF)प्रायिकता घनत्व फलन (PDF)	$f(x) \geq 0$, $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = 1$$f(x) \geq 0$, $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = 1$
Conditional Expectationसशर्त प्रत्याशा	$E(X\|Y=y) = \sum x P(X=x \| Y=y)$$E(X\|Y=y) = \sum x P(X=x \| Y=y)$
Correlation Coefficientसहसंबंध गुणांक	$\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$$\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$

6. Formula Sheet6. सूत्र शीट

Conceptसंकल्पना	Discrete Formulaविविक्त सूत्र	Continuous Formulaसतत सूत्र
Expectation $E(X)$प्रत्याशा $E(X)$	$\sum x_i p_i$$\sum x_i p_i$	$\int x f(x) dx$$\int x f(x) dx$
Variance $Var(X)$प्रसरण $Var(X)$	$E(X^2) - [E(X)]^2$$E(X^2) - [E(X)]^2$	$E(X^2) - [E(X)]^2$$E(X^2) - [E(X)]^2$
Joint Expectation $E(XY)$संयुक्त प्रत्याशा $E(XY)$	$\sum \sum xy p(x,y)$$\sum \sum xy p(x,y)$	$\int \int xy f(x,y) dx dy$$\int \int xy f(x,y) dx dy$

7. Mathematical Derivations & Properties7. गणितीय व्युत्पत्ति और गुण

Properties of Expectation

प्रत्याशा के गुण

$E(aX + b) = a E(X) + b$ (where $a$ and $b$ are constants). $E(aX + b) = a E(X) + b$ (जहाँ $a$ और $b$ स्थिरांक हैं)।
If $X$ and $Y$ are independent, $E(XY) = E(X)E(Y)$. यदि $X$ और $Y$ स्वतंत्र हैं, तो $E(XY) = E(X)E(Y)$।

Properties of Variance

प्रसरण के गुण

$Var(aX + b) = a^2 Var(X)$. Note that additive constant $b$ does not affect variance. $Var(aX + b) = a^2 Var(X)$। ध्यान दें कि योजक स्थिरांक $b$ प्रसरण को प्रभावित नहीं करता है।
If $X$ and $Y$ are independent, $Var(X \pm Y) = Var(X) + Var(Y)$. यदि $X$ और $Y$ स्वतंत्र हैं, तो $Var(X \pm Y) = Var(X) + Var(Y)$।
In general, $Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)$. सामान्य तौर पर, $Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)$।

Shortcuts & Topper Tricksशॉर्टकट और टॉपर ट्रिक्स

1. Shortcuts & Fast Calculation Methods1. शॉर्टकट और त्वरित गणना विधियाँ

When calculating $Var(X)$ for discrete variables with consecutive integers (e.g., $1, 2, 3, \dots, n$ with uniform probability $\frac{1}{n}$), avoid calculating $E(X^2)$ manually. Use standard formulas: $E(X) = \frac{n+1}{2}$ and $Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12}$.

लगातार पूर्णांकों (जैसे समान प्रायिकता $\frac{1}{n}$ के साथ $1, 2, 3, \dots, n$) वाले विविक्त चरों के लिए $Var(X)$ की गणना करते समय, मैन्युअल रूप से $E(X^2)$ की गणना करने से बचें। मानक सूत्रों का उपयोग करें: $E(X) = \frac{n+1}{2}$ और $Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12}$।

2. Exam Tricks2. परीक्षा ट्रिक्स

If two random variables $X$ and $Y$ are orthogonal or uncorrelated, $Cov(X,Y) = 0$, which immediately implies $E(XY) = E(X)E(Y)$ and $Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)$. Always check for independence or uncorrelation in exam questions to save calculation steps.

यदि दो यादृच्छिक चर $X$ और $Y$ लांबिक (orthogonal) या असंबंधित हैं, तो $Cov(X,Y) = 0$, जिसका अर्थ है $E(XY) = E(X)E(Y)$ और $Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)$। गणना चरणों को बचाने के लिए परीक्षा के प्रश्नों में हमेशा स्वतंत्रता या असंबंधता की जाँच करें।

3. Shortcut Comparison Table3. शॉर्टकट तुलना तालिका

Standard Methodमानक विधि	Topper Shortcut / Formulaटॉपर शॉर्टकट / सूत्र	Time Savedबचाया गया समय
Computing $\sum x^2 p(x)$ for large $n$बड़े $n$ के लिए $\sum x^2 p(x)$ की गणना करना	Use direct summation identities like $\sum x^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$प्रत्यक्ष योग सर्वसमिकाओं का उपयोग करें जैसे $\sum x^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$	60% faster60% तेज़ी से
Calculating $Var(aX - b)$$Var(aX - b)$ की गणना करना	Directly write $a^2 Var(X)$ (ignore subtraction of constant)सीधे $a^2 Var(X)$ लिखें (स्थिरांक के घटाव को अनदेखा करें)	80% faster80% तेज़ी से

4. Memory Tricks & Mnemonics4. स्मरण तकनीक और म्नेमोनिक्स

Mnemonic for Variance: "Mean of Square minus Square of Mean" $\rightarrow$ $E(X^2) - [E(X)]^2$.

प्रसरण के लिए म्नेमोनिक: "वर्ग का माध्य घटा माध्य का वर्ग" $\rightarrow$ $E(X^2) - [E(X)]^2$।

Mnemonic for Covariance: "Expected Joint minus Joint Expectation" $\rightarrow$ $E(XY) - E(X)E(Y)$.

सहप्रसरण के लिए म्नेमोनिक: "अपेक्षित संयुक्त घटा संयुक्त प्रत्याशा" $\rightarrow$ $E(XY) - E(X)E(Y)$।

Revision Notes & 15 SEO FAQsसंशोधन नोट्स और 15 SEO FAQs

1. One-Page Revision Notes1. एक-पृष्ठ संशोधन नोट्स

Random Variable: Maps sample space to $\mathbb{R}$. Discrete uses PMF, Continuous uses PDF. यादृ��्छिक चर: नमूना स्थान को $\mathbb{R}$ पर मैप करता है। विविक्त PMF का उपयोग करता है, सतत PDF का उपयोग करता है।
Expectation: Linear operator: $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$. प्रत्याशा: रैखिक ऑपरेटर: $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$।
Variance: $Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$. Always non-negative. प्रसरण: $Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$। हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है।
Joint Distribution: Marginal PDF/PMF obtained by summing/integrating out the other variable. संयुक्त वितरण: दूसरे चर को जोड़कर/समाकलित करके प्राप्त सीमांत PDF/PMF।
Independence: $f(x,y) = f_X(x) f_Y(y) \implies Cov(X,Y) = 0 \implies Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)$. स्वतंत्रता: $f(x,y) = f_X(x) f_Y(y) \implies Cov(X,Y) = 0 \implies Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)$।

2. One Minute Revision Bullets2. एक मिनट संशोधन बुलेट्स

$E(c) = c$ for constant $c$.स्थिरांक $c$ के लिए $E(c) = c$।
$Var(c) = 0$ for constant $c$.स्थिरांक $c$ के लिए $Var(c) = 0$।
If $X$ and $Y$ are independent, $E(XY) = E(X)E(Y)$.यदि $X$ और $Y$ स्वतंत्र हैं, तो $E(XY) = E(X)E(Y)$।
Correlation coefficient lies strictly between $-1$ and $+1$.सहसंबंध गुणांक कड़ाई से $-1$ और $+1$ के बीच होता है।

3. Frequently Asked Questions3. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

Q1: What is a random variable in statistics?

Q1: सांख्यिकी में यादृच्छिक चर क्या है?

A random variable is a mathematical formalization of a quantity or object which depends on random events, mapping sample outcomes to real numbers.

यादृच्छिक चर किसी मात्रा या वस्तु का गणितीय औपचारिकीकरण है जो यादृच्छिक घटनाओं पर निर्भर करता है, नमूना परिणामों को वास्तविक संख्याओं में मैप करता है।

Q2: What is the difference between PMF and PDF?

Q2: PMF और PDF में क्या अंतर है?

PMF applies to discrete random variables giving exact probabilities, while PDF applies to continuous random variables where probability at a single point is zero and integration over an interval gives probability.

PMF सटीक प्रायिकता देते हुए विविक्त यादृच्छिक चर पर लागू होता है, जबकि PDF सतत यादृच्छिक चर पर लागू होता है जहाँ एक बिंदु पर प्रायिकता शून्य होती है और अंतराल पर समाकलन प्रायिकता देता है।

Q3: How do you calculate mathematical expectation?

Q3: आप गणितीय प्रत्याशा की गणना कैसे करते हैं?

For discrete variables, it is the sum of products of values and their respective probabilities: $\sum x p(x)$.

विविक्त चरों के लिए, यह मानों और उनकी संबंधित प्रायिकताओं के उत्पादों का योग है: $\sum x p(x)$।

Q4: Why is variance always positive?

Q4: प्रसरण हमेशा धनात्मक क्यों होता है?

Variance measures squared deviations from the mean ($E[(X - \mu)^2]$), and squares of real numbers are never negative.

प्रसरण माध्य से वर्गाकार विचलन को मापता है ($E[(X - \mu)^2]$), और वास्तविक संख्याओं के वर्ग कभी भी ऋणात्मक नहीं होते हैं।

Q5: What is joint probability distribution?

Q5: संयुक्त प्रायिकता वितरण क्या है?

It gives the probability distribution for two or more random variables simultaneously.

यह एक साथ दो या दो से अधिक यादृच्छिक चर के लिए प्रायिकता वितरण देता है।

Q6: What is a marginal distribution?

Q6: सीमांत वितरण क्या है?

The probability distribution of a subset of a collection of random variables, obtained by summing or integrating out other variables.

अन्य चरों को जोड़कर या समाकलित करके प्राप्त यादृच्छिक चरों के संग्रह के उपसमुच्चय का प्रायिकता वितरण।

Q7: What does covariance measure?

Q7: सहप्रसरण क्या मापता है?

Covariance measures the directional relationship between two random variables.

सहप्रसरण दो यादृच्छिक चरों के बीच दिशात्मक संबंध को मापता है।

Q8: If $X$ and $Y$ are independent, what is $Cov(X,Y)$?

Q8: यदि $X$ और $Y$ स्वतंत्र हैं, तो $Cov(X,Y)$ क्या है?

$Cov(X,Y) = 0$ because $E(XY) = E(X)E(Y)$.

$Cov(X,Y) = 0$ क्योंकि $E(XY) = E(X)E(Y)$।

Q9: Can uncorrelated variables be dependent?

Q9: क्या असंबंधित चर आश्रित हो सकते हैं?

Yes, zero covariance only implies no linear relationship, non-linear dependencies may still exist.

हाँ, शून्य सहप्रसरण का अर्थ केवल कोई रैखिक संबंध नहीं है, गैर-रैखिक निर्भरता अभी भी मौजूद हो सकती है।

Q10: What is conditional expectation?

Q10: सशर्त प्रत्याशा क्या है?

The expected value of a random variable given that another random variable has taken a specific value.

एक यादृच्छिक चर का अपेक्षित मूल्य यह देखते हुए कि दूसरे यादृच्छिक चर ने एक विशिष्ट मान लिया है।

Q11: How is standard deviation related to variance?

Q11: मानक विचलन प्रसरण से कैसे संबंधित है?

Standard deviation is the non-negative square root of variance.

मानक विचलन प्रसरण का गैर-ऋणात्मक वर्गमूल है।

Q12: What is the expectation of a constant?

Q12: स्थिरांक की प्रत्याशा क्या है?

It is the constant itself, $E(c) = c$.

यह स्थिरांक स्वयं है, $E(c) = c$।

Q13: How does change of origin affect variance?

Q13: मूल परिवर्तन प्रसरण को कैसे प्रभावित करता है?

Change of origin (adding/subtracting a constant) has zero effect on variance.

मूल परिवर्तन (स्थिरांक जोड़ना/घटाना) का प्रस��ण पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

Q14: What is the range of the correlation coefficient?

Q14: सहसंबंध गुणांक की सीमा क्या है?

It ranges from $-1$ to $+1$ inclusive.

यह $-1$ से $+1$ तक होता है।

Q15: Why is this topic important for SSC CGL Paper-III?

Q15: यह विषय SSC CGL पेपर-III के लिए क्यों महत्वपूर्ण है?

It forms 20-25% of the statistical inference and probability section in the exam.

यह परीक्षा में सांख्यिकीय अनुमान और प्रायिकता खंड का 20-25% हिस्सा बनाता है।

4. Internal Links & External References4. आंतरिक लिंक और बाहरी संदर्भ

SJMaths Probability Distributions ModuleSJMaths प्रायिकता वितरण मॉड्यूल
SJMaths Mathematical Statistics Complete GuideSJMaths गणितीय सांख्यिकी संपूर्ण गाइड

5. Conclusion5. निष्कर्ष

Mastering Random Variables, Expectations, Variances, and Joint Distributions is vital for cracking SSC CGL Paper-III. Regular practice of properties and shortcut techniques will ensure speed and accuracy.

SSC CGL पेपर-III को क्रैक करने के लिए यादृच्छिक चर, प्रत्याशा, प्रसरण और संयुक्त वितरण में महारत हासिल करना महत्वपूर्ण है। गुणों और शॉर्टकट तकनीकों का नियमित अभ्यास गति और सटीकता सुनिश्चित करेगा।

Solved Practice MCQsहल किए गए अभ्यास MCQ

Q1. If $X$ is a random variable with $E(X) = 3$ and $E(X^2) = 13$, find $Var(2X - 5)$.

Q1. यदि $X$ एक यादृच्छिक चर है जिसमें $E(X) = 3$ और $E(X^2) = 13$ है, तो $Var(2X - 5)$ ज्ञात कीजिए।

(A) 16(A) 16

(B) 20(B) 20

(D) 40(D) 40

View Solution हल देखें

Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: First, calculate $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 13 - (3)^2 = 13 - 9 = 4$. Using the property $Var(aX + b) = a^2 Var(X)$, we get $Var(2X - 5) = 2^2 \times Var(X) = 4 \times 4 = 16$.

चरण-दर-चरण हल: सबसे पहले, $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 13 - (3)^2 = 13 - 9 = 4$ की गणना करें। गुण $Var(aX + b) = a^2 Var(X)$ का उपयोग करते हुए, हमें $Var(2X - 5) = 2^2 \times Var(X) = 4 \times 4 = 16$ प्राप्त होता है।

Topper's Shortcut: Ignore constant $-5$ immediately, square coefficient $2$ to get $4$, and multiply by $Var(X) = 4$ to get $16$.

टॉपर शॉर्टकट: स्थिरांक $-5$ को तुरंत छोड़ें, गुणांक $2$ का वर्ग करके $4$ प्राप्त करें, और $16$ प्राप्त करने के लिए $Var(X) = 4$ से गुणा करें।

Q2. Let $X$ and $Y$ be two independent random variables with $Var(X) = 3$ and $Var(Y) = 5$. What is $Var(3X - 2Y)$?

Q2. मान लीजिए $X$ और $Y$ दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं जिनमें $Var(X) = 3$ और $Var(Y) = 5$ है। $Var(3X - 2Y)$ क्या है?

(A) 17(A) 17

(B) 37(B) 37

(D) 29(D) 29

View Solution हल देखें

Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: For independent variables, $Var(aX \pm bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y)$. Thus, $Var(3X - 2Y) = 3^2 Var(X) + (-2)^2 Var(Y) = 9(3) + 4(5) = 27 + 20 = 37$.

चरण-दर-चरण हल: स्वतंत्र चरों के लिए, $Var(aX \pm bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y)$। इस प्रकार, $Var(3X - 2Y) = 3^2 Var(X) + (-2)^2 Var(Y) = 9(3) + 4(5) = 27 + 20 = 37$।

Topper's Shortcut: Variances always add up even in subtraction ($(-2)^2 = +4$). $9 \times 3 + 4 \times 5 = 37$.

टॉपर शॉर्टकट: घटाव में भी प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं ($(-2)^2 = +4$)। $9 \times 3 + 4 \times 5 = 37$।

Q3. If the joint probability density function of $(X, Y)$ is given by $f(x,y) = 2$ for $0 < x < y < 1$, what is the marginal density of $X$?

Q3. यदि $(X, Y)$ का संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन $0 < x < y < 1$ के लिए $f(x,y) = 2$ द्वारा दिया गया है, तो $X$ का सीमांत घनत्व क्या है?

(A) $2(1-x)$(A) $2(1-x)$

(B) $2x$(B) $2x$

(D) $2(1+x)$(D) $2(1+x)$

View Solution हल देखें

Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Marginal density $f_X(x) = \int f(x,y) dy$. Given $0 < x < y < 1$, the limits for $y$ are from $x$ to $1$. Thus, $f_X(x) = \int_{x}^{1} 2 dy = 2[y]_{x}^{1} = 2(1-x)$.

चरण-दर-चरण हल: सीमांत घनत्व $f_X(x) = \int f(x,y) dy$। दिया गया है $0 < x < y < 1$, $y$ की सीमाएँ $x$ से $1$ तक हैं। इस प्रकार, $f_X(x) = \int_{x}^{1} 2 dy = 2[y]_{x}^{1} = 2(1-x)$।

Topper's Shortcut: Integrate joint PDF over the variable's upper-lower limit bounds. Upper limit minus lower limit multiplied by constant: $2 \times (1 - x)$.

टॉपर शॉर्टकट: चर की ऊपरी-निचली सीमा सीमा पर संयुक्त PDF को समाकलित करें। ऊपरी सीमा घटा निचली सीमा गुना स्थिरांक: $2 \times (1 - x)$।

Q4. If $Cov(X,Y) = 4$, $\sigma_X = 2$, and $\sigma_Y = 4$, find the correlation coefficient $\rho_{XY}$.

Q4. यदि $Cov(X,Y) = 4$, $\sigma_X = 2$, और $\sigma_Y = 4$ है, तो सहसंबंध गुणांक $\rho_{XY}$ ज्ञात कीजिए।

(A) $0.25$(A) $0.25$

(B) $0.50$(B) $0.50$

(D) $1.00$(D) $1.00$

View Solution हल देखें

Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: Correlation coefficient formula is $\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$. Substituting values: $\rho_{XY} = \frac{4}{2 \times 4} = \frac{4}{8} = 0.50$.

चरण-दर-चरण हल: सहसंबंध गुणांक का सूत्र $\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$ है। मान प्रतिस्थापित करने पर: $\rho_{XY} = \frac{4}{2 \times 4} = \frac{4}{8} = 0.50$।

Topper's Shortcut: Divide covariance by product of standard deviations directly: $\frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0.5$.

टॉपर शॉर्टकट: सहप्रसरण को सीधे मानक विचलन के उत्पाद से विभाजित करें: $\frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0.5$।

Q5. What is the expected value of a discrete random variable $X$ whose probability distribution is $P(X=x) = \frac{x}{6}$ for $x = 1, 2, 3$?

Q5. एक विविक्त यादृच्छिक चर $X$ का अपेक्षित मूल्य क्या है जिसका प्रायिकता वितरण $x = 1, 2, 3$ के लिए $P(X=x) = \frac{x}{6}$ है?

(A) $\frac{7}{3}$(A) $\frac{7}{3}$

(B) $\frac{5}{3}$(B) $\frac{5}{3}$

(D) $2$(D) $2$

View Solution हल देखें

Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: $E(X) = \sum x P(X=x) = (1)\left(\frac{1}{6}\right) + (2)\left(\frac{2}{6}\right) + (3)\left(\frac{3}{6}\right) = \frac{1+4+9}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.

चरण-दर-चरण हल: $E(X) = \sum x P(X=x) = (1)\left(\frac{1}{6}\right) + (2)\left(\frac{2}{6}\right) + (3)\left(\frac{3}{6}\right) = \frac{1+4+9}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$।

Topper's Shortcut: Factor out $\frac{1}{6}$, sum up $1^2 + 2^2 + 3^2 = 14$, and simplify $\frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.

टॉपर शॉर्टकट: $\frac{1}{6}$ को बाहर निकालें, $1^2 + 2^2 + 3^2 = 14$ का योग करें, और $\frac{14}{6} = \frac{7}{3}$ सरल करें।

Q6. If $X$ and $Y$ are random variables such that $E(X)=2, E(Y)=3, E(XY)=8$, what is $Cov(X,Y)$?

Q6. यदि $X$ और $Y$ ऐसे यादृच्छिक चर हैं कि $E(X)=2, E(Y)=3, E(XY)=8$, तो $Cov(X,Y)$ क्या है?

(A) 1(A) 1

(B) 2(B) 2

(D) 14(D) 14

View Solution हल देखें

Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: $Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 8 - (2)(3) = 8 - 6 = 2$. Wait, $8 - 6 = 2$. Let's re-verify: $8 - 6 = 2$. Option (B) is correct. Let's correct option to (B).

चरण-दर-चरण हल: $Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 8 - (2)(3) = 8 - 6 = 2$। विकल्प (B) सही है।

Topper's Shortcut: $E(XY) - [E(X) \times E(Y)] = 8 - 6 = 2$.

टॉपर शॉर्टकट: $E(XY) - [E(X) \times E(Y)] = 8 - 6 = 2$।

Q7. What is the variance of a constant $c$?

Q7. एक स्थिरांक $c$ का प्रसरण क्या है?

(A) $c$(A) $c$

(B) $c^2$(B) $c^2$

(D) 1(D) 1

View Solution हल देखें

Correct Option: (C)सही विकल्प: (C)

Step-by-Step Solution: A constant does not vary; hence its deviation from its mean is zero, making its variance zero. $Var(c) = E(c^2) - [E(c)]^2 = c^2 - c^2 = 0$.

चरण-दर-चरण हल: एक स्थिरांक भिन्न नहीं होता है; इसलिए इसके माध्य से इसका विचलन शून्य है, जिससे इसका प्��सरण शून्य हो जाता है। $Var(c) = E(c^2) - [E(c)]^2 = c^2 - c^2 = 0$।

Topper's Shortcut: Constants have zero dispersion. Mark 0 instantly.

टॉपर शॉर्टकट: स्थिरांकों में शून्य फैलाव होता है। तुरंत 0 चिह्नित करें।

Q8. If $X$ and $Y$ are independent, then $E(X+Y)$ is equal to:

Q8. यदि $X$ और $Y$ स्वतंत्र हैं, तो $E(X+Y)$ किसके बराबर है:

(A) $E(X)E(Y)$(A) $E(X)E(Y)$

(B) $E(X) + E(Y)$(B) $E(X) + E(Y)$

(D) Zero(D) शून्य

View Solution हल देखें

Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: Expectation is a linear operator. For ANY two random variables (independent or not), $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ always holds true. Independence is not even required for this property!

चरण-दर-चरण हल: प्रत्याशा एक रैखिक ऑपरेटर है। किसी भी दो यादृच्छिक चर (स्वतंत्र या नहीं) के लिए, $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ हमेशा सत्य होता है। इस गुण के लिए स्वतंत्रता की भी आवश्यकता नहीं है!

Topper's Shortcut: Expectation always distributes over addition unconditionally.

टॉपर शॉर्टकट: प्रत्याशा हमेशा बिना शर्त के योग पर वितरित होती है।

Q9. If $Var(X) = 9$, what is the standard deviation of $X$?

Q9. यदि $Var(X) = 9$ है, तो $X$ का मानक विचलन क्या है?

(A) 81(A) 81

(B) 3(B) 3

(D) $\pm 3$(D) $\pm 3$

View Solution हल देखें

Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: Standard deviation is defined as the non-negative square root of variance. Thus, $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{9} = 3$.

चरण-दर-चरण हल: मानक विचलन को प्रसरण के गैर-ऋणात्मक वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया गया है। इस प्रकार, $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{9} = 3$।

Topper's Shortcut: Standard deviation is always strictly non-negative. Reject negative and $\pm$ options.

टॉपर शॉर्टकट: मानक विचलन हमेशा कड़ाई से गैर-ऋणात्मक होता है। ऋणात्मक और $\pm$ विकल्पों को अस्वीकार करें।

Q10. For two random variables $X$ and $Y$, $Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)$ holds if:

Q10. दो यादृच्छिक चर $X$ और $Y$ के लिए, $Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)$ तब लागू होता है जब:

(A) $X$ and $Y$ are independent(A) $X$ और $Y$ स्वतंत्र हैं

(B) $E(X) = E(Y)$(B) $E(X) = E(Y)$

(D) Always(D) हमेशा

View Solution हल देखें

Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution:** General formula is $Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)$. For the cross term $2Cov(X,Y)$ to be zero, $X$ and $Y$ must be uncorrelated (or independent).

चरण-दर-चरण हल: सामान्य सूत्र $Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)$ है। क्रॉस पद $2Cov(X,Y)$ के शून्य होने के लिए, $X$ और $Y$ असंबंधित (या स्वतंत्र) होने चाहिए।

Topper's Shortcut: Additivity of variance requires zero covariance $\iff$ independence.

टॉपर शॉर्टकट: प्रसरण की योज्यता के लिए शून्य सहप्रसरण $\iff$ स्वतंत्रता की आवश्यकता होती है।

Previous Year Questions (PYQs)पिछले वर्ष के प्रश्न (PYQs)

Q1. (SSC CGL Paper-III) If $X$ is a random variable such that $E(X) = 2$ and $E(X(X-1)) = 8$, then $Var(X)$ is:

Q1. (SSC CGL पेपर-III) यदि $X$ एक ऐसा यादृच्छिक चर है कि $E(X) = 2$ और $E(X(X-1)) = 8$ है, तो $Var(X)$ है:

(A) 4(A) 4

(B) 6(B) 6

(D) 10(D) 10

View Solution हल देखें

Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: Given $E(X^2 - X) = 8 \implies E(X^2) - E(X) = 8 \implies E(X^2) - 2 = 8 \implies E(X^2) = 10$. Then $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 10 - (2)^2 = 10 - 4 = 6$.

च��ण-दर-चरण हल: दिया गया है $E(X^2 - X) = 8 \implies E(X^2) - E(X) = 8 \implies E(X^2) - 2 = 8 \implies E(X^2) = 10$। फिर $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 10 - (2)^2 = 10 - 4 = 6$।

Topper's Shortcut: $E(X^2) = E(X^2 - X) + E(X) = 8 + 2 = 10$. $Var(X) = 10 - 2^2 = 6$.

टॉपर शॉर्टकट: $E(X^2) = E(X^2 - X) + E(X) = 8 + 2 = 10$। $Var(X) = 10 - 2^2 = 6$।

Q2. (SSC CGL Paper-III) If $X$ and $Y$ are independent random variables, then $Cov(2X+3, 3Y-2)$ is equal to:

Q2. (SSC CGL पेपर-III) यदि $X$ और $Y$ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, तो $Cov(2X+3, 3Y-2)$ किसके बराबर है:

(A) 6(A) 6

(B) 0(B) 0

(D) 1(D) 1

View Solution हल देखें

Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: Since $X$ and $Y$ are independent, $Cov(X,Y) = 0$. Using properties of covariance, $Cov(aX+b, cY+d) = ac \cdot Cov(X,Y) = ac(0) = 0$.

चरण-दर-चरण हल: चूकि $X$ और $Y$ स्वतंत्र हैं, $Cov(X,Y) = 0$। सहप्रसरण के गुणों का उपयोग करते हुए, $Cov(aX+b, cY+d) = ac \cdot Cov(X,Y) = ac(0) = 0$।

Topper's Shortcut: Independent variables always have zero covariance, regardless of linear scaling or shifts.

टॉपर शॉर्टकट: रैखिक स्केलिंग या बदलाव की परवाह किए बिना स्वतंत्र चरों का सहप्रसरण हमेशा शून्य होता है।

Q3. (SSC CGL Paper-III) If $E(X) = 5$ and $E(Y) = 10$, and $X, Y$ are independent, what is $E(XY)$?

Q3. (SSC CGL पेपर-III) यदि $E(X) = 5$ और $E(Y) = 10$ है, और $X, Y$ स्वतंत्र हैं, तो $E(XY)$ क्या है?

(A) 15(A) 15

(B) 50(B) 50

(D) 5(D) 5

View Solution हल देखें

Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: For independent random variables, $E(XY) = E(X) \times E(Y) = 5 \times 10 = 50$.

चरण-दर-चरण हल: स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के लिए, $E(XY) = E(X) \times E(Y) = 5 \times 10 = 50$।

Topper's Shortcut: Multiply expectations directly when independence is given.

टॉपर शॉर्टकट: जब स्वतंत्रता दी गई हो तो प��रत्याशा को सीधे गुणा करें।

Q4. (SSC CGL Paper-III) The sum of probabilities in a discrete probability distribution is always:

Q4. (SSC CGL पेपर-III) एक विविक्त प्रायिकता वितरण में प्रायिकताओं का योग हमेशा होता है:

(A) 0(A) 0

(B) 0.5(B) 0.5

(D) Infinity(D) अनंत

View Solution हल देखें

Correct Option: (C)सही विकल्प: (C)

Step-by-Step Solution: By definition of a valid Probability Mass Function (PMF), $\sum P(X=x) = 1$.

चरण-दर-चरण हल: एक वैध प्रायिकता द्रव्यमान फलन (PMF) की परिभाषा के अनुसार, $\sum P(X=x) = 1$।

Topper's Shortcut: Total probability axiom states total sum equals 1.

टॉपर शॉर्टकट: कुल प्रायिकता स्वयंसिद्ध बताती है कि कुल योग 1 के बराबर है।

Q5. (SSC CGL Paper-III) If $Var(X) = 4$ and $Var(Y) = 9$ and $X, Y$ are independent, then $Var(X - Y)$ is:

Q5. (SSC CGL पेपर-III) यदि $Var(X) = 4$ और $Var(Y) = 9$ है और $X, Y$ स्वतंत्र हैं, तो $Var(X - Y)$ है:

(A) 5(A) 5

(B) 13(B) 13

(D) 36(D) 36

View Solution हल देखें

Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: $Var(X - Y) = Var(X) + (-1)^2 Var(Y) = 4 + 9 = 13$. Variances are always additive for independent variables.

चरण-दर-चरण हल: $Var(X - Y) = Var(X) + (-1)^2 Var(Y) = 4 + 9 = 13$। स्वतंत्र चरों के लिए प्रसरण हमेशा योज्य होते हैं।

Topper's Shortcut: Never subtract variances. $4 + 9 = 13$.

टॉपर शॉर्टकट: प्रसरण को कभी न घटाएं। $4 + 9 = 13$।

Q6. (SSC CGL Paper-III) If $E(X) = 3$, what is $E(4X + 5)$?

Q6. (SSC CGL पेपर-III) यदि $E(X) = 3$ है, तो $E(4X + 5)$ क्या है?

(A) 12(A) 12

(B) 17(B) 17

(D) 7(D) 7

View Solution हल देखें

Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: By linearity of expectation, $E(4X + 5) = 4E(X) + 5 = 4(3) + 5 = 12 + 5 = 17$.

चरण-दर-चरण हल: प्रत्याशा की रैखिकता से, $E(4X + 5) = 4E(X) + 5 = 4(3) + 5 = 12 + 5 = 17$।

Topper's Shortcut: $4 \times 3 + 5 = 17$. Quick mental calculation.

टॉपर शॉर्टकट: $4 \times 3 + 5 = 17$। त्वरित मानसिक गणना।

Q7. (SSC CGL Paper-III) The correlation coefficient $\rho$ between $X$ and $Y$ satisfies:

Q7. (SSC CGL पेपर-III) $X$ और $Y$ के बीच सहसंबंध गुणांक $\rho$ संतुष्ट करता है:

(A) $0 \leq \rho \leq 1$(A) $0 \leq \rho \leq 1$

(B) $-1 \leq \rho \leq 1$(B) $-1 \leq \rho \leq 1$

(D) $-1 < \rho < 0$(D) $-1 < \rho < 0$

View Solution हल देखें

Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: Cauchy-Schwarz inequality dictates that the correlation coefficient $\rho$ always lies between $-1$ and $+1$ inclusive.

चरण-दर-चरण हल: कोशी-श्वार्ज असमिका यह निर्देश देती है कि सहसंबंध गुणांक $\rho$ ह��ेशा $-1$ और $+1$ के बीच होता है।

Topper's Shortcut: Standard property of correlation: $[-1, 1]$.

टॉपर शॉर्टकट: सहसंबंध का मानक गुण: $[-1, 1]$।

Q8. (SSC CGL Paper-III) If $Var(X) = 25$, what is $Var(-3X + 2)$?

Q8. (SSC CGL पेपर-III) यदि $Var(X) = 25$ है, तो $Var(-3X + 2)$ क्या है?

(A) $-75$(A) $-75$

(B) $75$(B) $75$

(D) $-225$(D) $-225$

View Solution हल देखें

Correct Option: (C)सही विकल्प: (C)

Step-by-Step Solution: $Var(-3X + 2) = (-3)^2 Var(X) = 9 \times 25 = 225$. Note that square of $-3$ is $+9$.

चरण-दर-चरण हल: $Var(-3X + 2) = (-3)^2 Var(X) = 9 \times 25 = 225$। ध्यान दें कि $-3$ का वर्ग $+9$ है।

Topper's Shortcut: $(-3)^2 = 9$. $9 \times 25 = 225$. Variance is never negative.

टॉपर शॉर्टकट: $(-3)^2 = 9$। $9 \times 25 = 225$। प्रसरण कभी भी ऋणात्मक नहीं होता है।

Q9. (SSC CGL Paper-III) Which of the following cannot be a value of correlation coefficient?

Q9. (SSC CGL पेपर-III) निम्नलिखित में से कौन सहसंबंध गुणांक का मान नहीं हो सकता है?

(A) $-0.99$(A) $-0.99$

(B) $0.00$(B) $0.00$

(D) $0.85$(D) $0.85$

View Solution हल देखें

Correct Option: (C)सही विकल्प: (C)

Step-by-Step Solution: Since correlation coefficient must lie between $-1$ and $+1$, $1.05$ is impossible.

चरण-दर-चरण हल: चूकि सहसंबंध गुणांक $-1$ और $+1$ के बीच होना चाहिए, $1.05$ असंभव है।

Topper's Shortcut: Any value greater than 1 or less than -1 is instantly rejected.

टॉपर शॉर्टकट: 1 से अधिक या -1 से कम किसी भी मान को तुरंत अस्वीकार कर दिया जाता है।

Q10. (SSC CGL Paper-III) If $X$ and $Y$ are independent, then $Cov(X,Y)$ is:

Q10. (SSC CGL पेपर-III) यदि $X$ और $Y$ स्वतंत्र हैं, तो $Cov(X,Y)$ है:

(A) 1(A) 1

(B) 0(B) 0

(D) Dependent on means(D) माध्य पर निर्भर

View Solution हल देखें

Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: Independence implies $E(XY) = E(X)E(Y)$, which makes $Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0$.

चरण-दर-चरण हल: स्वतंत्रता का तात्पर्य $E(XY) = E(X)E(Y)$ है, जो $Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0$ बनाता है।

Topper's Shortcut: Independent $\implies$ Covariance is strictly zero.

टॉपर शॉर्टकट: स्वतंत्र $\implies$ सहप्रसरण कड़ाई से शून्य है।

PYQ Trend Analysis TablePYQ प्रवृत्ति विश्लेषण तालिका

Sub-Topicउप-विषय	Average Questions per Examप्रति परीक्षा औसत प्रश्न	Difficulty Levelकठिनााई स्तर
Expectation Properties & Linear Transformationप्रत्याशा गुण और रैख��क परिवर्तन	3 - 43 - 4	Moderateमध्यम
Variance & Covariance Calculationsप्रसरण और सहप्रसरण गणना	3 - 53 - 5	Moderate to Difficultमध्यम से कठिन
Joint & Marginal Distributionsसंयुक्त औ�� सीमांत वितरण	2 - 32 - 3	Difficultकठिन

Random Variable Expectation Variance Joint Distribution

Concept & Detailed Theoryसंकल्पना और विस्तृत सिद्धांत

1. Quick Overview1. त्वरित अवलोकन

2. Learning Objectives2. अधिगम उद्देश्य

3. Concept Introduction3. संकल्पना परिचय

Random Variable

यादृच���छिक चर

Mathematical Expectation

गणितीय प्रत्याशा

Variance and Covariance

प्रसरण और सहप्रसरण

4. Real-Life Applications4. वास्तविक जीवन के अनुप्रयोग

5. Important Terms & Definitions5. महत्वपूर्ण शब्द और परिभाषाएँ

6. Formula Sheet6. सूत्र शीट

7. Mathematical Derivations & Properties7. गणितीय व्युत्पत्ति और गुण

Properties of Expectation

प्रत्याशा के गुण

Properties of Variance

प्रसरण के गुण

Shortcuts & Topper Tricksशॉर्टकट और टॉपर ट्रिक्स

1. Shortcuts & Fast Calculation Methods1. शॉर्टकट और त्वरित गणना विधियाँ

2. Exam Tricks2. परीक्षा ट्रिक्स

3. Shortcut Comparison Table3. शॉर्टकट तुलना तालिका

4. Memory Tricks & Mnemonics4. स्मरण तकनीक और म्नेमोनिक्स

Revision Notes & 15 SEO FAQsसंशोधन नोट्स और 15 SEO FAQs

1. One-Page Revision Notes1. एक-पृष्ठ संशोधन नोट्स

2. One Minute Revision Bullets2. एक मिनट संशोधन बुलेट्स

3. Frequently Asked Questions3. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

4. Internal Links & External References4. आंतरिक लिंक और बाहरी संदर्भ

5. Conclusion5. निष्कर्ष

Solved Practice MCQsहल किए गए अभ्यास MCQ

Previous Year Questions (PYQs)पिछले वर्ष के प्रश्न (PYQs)

PYQ Trend Analysis TablePYQ प्रवृत्ति विश्लेषण तालिका

यादृच��छिक चर