Sampling techniques form the core of inferential statistics in SSC CGL Paper-III. This module provides a comprehensive study of four fundamental sampling methods: Simple Random Sampling (SRS), Stratified Sampling, Systematic Sampling, and Cluster Sampling, highlighting their mathematical formulation, efficiency, and real-world applicability.
प्रतिच���न तकनीकें (Sampling techniques) एसएससी सीजीएल पेपर-III में अनुमानातिक सांख्यिकी (Inferential Statistics) का केंद्र हैं। यह मॉड्यूल चार बुनियादी प्रतिचयन विधियों—सरल यादृच्छिक प्रतिचयन (SRS), स्तरीकृत प्रतिचयन, व्यवस्थित प्रतिचयन, और क्लस्टर प्रतिचयन—का व्यापक अध्ययन प्रदान करता है, जिसमें उनके गणितीय सूत्रीकरण, दक्षता और वास्तविक दुनिया की प्रयोज्यता पर प्रकाश डाला गया है।
Learning Objectivesसीखने के उद्देश्य
Master the definitions and mathematical properties of Simple Random Sampling (with and without replacement).सरल यादृच्छिक प्रतिचयन (प्रतिस्थापन के साथ और बिना प्रतिस्थापन के) की परिभाषाओं और गणितीय गुणों में महारत हासिल करें।
Understand proportional and optimum (Neyman's) allocation in Stratified Sampling.स्तरीकृत प्रतिचयन में आनुपातिक और इष्टतम (नेमैन) आवंटन को समझें।
Analyze Systematic Sampling and its equivalence to Stratified Sampling under specific conditions.व्यवस्थित प्रतिचयन और विशिष्ट परिस्थितियों में स्तरीकृत प्रतिचयन के साथ इसकी समतुल्यता का विश्लेषण करें।
Evaluate Cluster Sampling and compute design effects for efficiency comparisons.क्लस्टर प्रतिचयन का मूल्यांकन करें और दक्षता तुलना के लिए डिज़ाइन प्रभावों की गणना करें।
Concept Introductionअवधारणा परिचय
In statistical investigations, studying an entire population (Census) is often impractical due to cost, time, and destructive testing. Therefore, we select a subset called a sample. The manner in which this sample is selected determines the validity and precision of our estimators. Probability sampling ensures that every unit in the population has a known, non-zero probability of being selected.
सांख्यिकीय जांच में, लागत, समय और विनाशकारी परीक्षण के कारण संपूर्ण जनसंख्या (जनगणना) का अध्ययन करना अक्सर अव्यावहारिक होता है। इसलिए, हम एक उपसमूह चुनते हैं जिसे नमूना (sample) कहा जाता है। यह नमूना जिस तरह से चुना जाता है, वह हमारे अनुमानकों की वैधता और सटीकता निर्धारित करता है। प्रायिकता प्रतिचयन यह सुनिश्चित करता है कि जनसंख्या की प्रत्येक इकाई को चुने जाने की ज्ञात, गैर-शून्य प्रायिकता हो।
Real-Life Applicationsवास्तविक जीवन के अनुप्रयोग
Simple Random Sampling: Quality control testing where every item in a production batch has an equal chance of inspection.सरल यादृच्छिक प्रतिचयन: गुणवत्ता नियंत्रण परीक्षण जहाँ उत्पादन बैच की प्रत्येक वस्तु को निरीक्षण का समान अवसर मिलता है।
Stratified Sampling: National income surveys dividing the population into income brackets (urban/rural, rich/middle/poor) to reduce variance.स्तरीकृ��� प्रतिचयन: राष्ट्रीय आय सर्वेक्षण जो विचरण को कम करने के लिए जनसंख्या को आय ब्रैकेट (शहरी/ग्रामीण, अमीर/मध्यम/गरीब) में विभाजित करते हैं।
Systematic Sampling: Selecting every 10th customer entering a shopping mall for a feedback survey.व्यवस्थित प्रतिचयन: फीडबैक सर्वेक्षण के लिए शॉपिंग मॉल में प्रवेश करने वाले प्रत्येक 10वें ग्राहक का चयन करना।
Cluster Sampling: Educational surveys sampling entire schools or classrooms rather than individual students across a state.क्लस्टर प्रतिचयन: किसी राज्य के व्यक्तिगत छात्रों के बजाय पूरे स्कूलों या कक्षाओं का नमूना लेने वाले शैक्षणिक सर्वेक्षण।
Important Terms & Definitionsमहत्वपूर्ण शब्द और परिभाषाएँ
Termशब्द
English Definitionअंग्रेजी परिभाषा
Hindi Definitionहिंदी परिभाषा
Population ($N$)समष्टि ($N$)
The entire set of individuals or items under consideration.विचाराधीन व्यक्तियों या वस्तुओं का संपूर्ण सेट।
The entire set of individuals or items under consideration.विचाराधीन व्यक्तियों या वस्तुओं का संपूर्ण सेट।
Sample ($n$)नमूना ($n$)
A subset of the population selected for observation.अवलोकन के लिए चुनी गई समष्टि का एक उपसमुच्चय।
A subset of the population selected for observation.अवलोकन के लिए चुनी गई समष्टि का एक उपसमुच्चय।
Sampling Frameप्रतिचयन ढांचा
A list or database containing all sampling units of the population.समष्टि की सभी प्रतिचयन इकाइयों युक्त एक सूची या डेटाबेस।
A list or database containing all sampling units of the population.समष्टि की सभी प्रतिचयन इकाइयों युक्त एक सूची या डेटाबेस।
Stratumस्तर (Stratum)
Non-overlapping homogeneous subgroups of a population.समष्टि के गैर-अतिव्याव्यापी सजातीय उपसमूह।
Non-overlapping homogeneous subgroups of a population.समष्टि के गैर-अतिव्याव्यापी सजातीय उपसमूह।
Clusterक्लस्टर (Cluster)
Natural heterogeneous groupings containing various elements of the population.प्राकृतिक विषम समूह जिनमें समष्टि के विभिन्न तत्व शामिल हैं।
Natural heterogeneous groupings containing various elements of the population.प्राकृतिक विषम समूह जिनमें समष्टि के विभिन्न तत्व शामिल हैं।
Formula Sheetसूत्र तालिका
Sampling Methodप्रतिचयन विधि
Sample Mean Variance ($V(\bar{y})$)नमूना माध्य विचरण ($V(\bar{y})$)
Mathematical Derivations & Propertiesगणितीय व्युत्पत्ति और गुण
Property 1: Unbiasedness of Sample Mean in SRSWOR. The sample mean $\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i$ is an unbiased estimator of the population mean $\bar{Y}$. That is, $E(\bar{y}) = \bar{Y}$.
गुण 1: SRSWOR में नमूना माध्य की निष्पक्षता (Unbiasedness)। नमूना माध्य $\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i$ समष्टि माध्य $\bar{Y}$ का एक निष्पक्ष अनुमानक है। यानी, $E(\bar{y}) = \bar{Y}$।
Property 2: Efficiency of Stratified Sampling. Stratified random sampling is always at least as precise as SRSWOR if the strata are homogeneous within themselves ($S_h^2$ is small) and heterogeneous between strata. Mathematically, $V_{st}(\bar{y}_{st}) \le V_{srs}(\bar{y})$ under optimum allocation.
गुण 2: स्तरीकृत प्रतिचयन की दक्षता। यदि स्तर अपने आप में सजातीय हैं ($S_h^2$ छोटा है) और स्तरों के बीच विषम हैं, तो स्तरीकृत यादृच्छिक प्रतिचयन हमेशा SRSWOR जितना सटीक होता है। गणितीय रूप से, इष्टतम आवंटन के तहत $V_{st}(\bar{y}_{st}) \le V_{srs}(\bar{y})$ होता है।
Shortcuts & Fast Calculation Methodsशॉर्टकट और तेज गणना विधियाँ
In SSC CGL Paper-III, numerical questions on allocation in Stratified Sampling and calculation of systematic sampling intervals appear frequently. Memorizing standard formulas and utilizing proportional scaling saves crucial time.
एसएससी सीजीएल पेपर-III में, स्तरीकृत प्रतिचयन में आवंटन और व्यवस्थित प्रतिचयन अंतराल की गणना पर संख्यात्मक प्रश्न बार-बार आते हैं। मानक सूत्रों को याद रखना और आनुपातिक स्केलिंग का उपयोग करना महत्वपूर्ण समय बचाता है।
Exam Tricksपरीक्षा ट्रिक्स
Neyman Allocation Shortcut: If costs are equal across strata, allocate sample size directly proportional to $N_h S_h$. If stratum variances $S_h$ are equal, Neyman allocation reduces to Proportional Allocation ($n_h = n \frac{N_h}{N}$).नेमैन आवंटन शॉर्टकट: यदि सभी स्तरों में लागत समान है, तो नमूना आकार को सीधे $N_h S_h$ के आनुपातिक रूप में आवंटित करें। यदि स्तर विचरण $S_h$ समान हैं, तो नेमैन आवंटन आनुपातिक आवंटन ($n_h = n \frac{N_h}{N}$) में बदल जाता है।
Systematic Sampling Interval: Always check if $N$ is divisible by $n$. If $k = N/n$ is an integer, select a random start between $1$ and $k$, and pick every $k$-th unit.व्यवस्थित प्रतिचयन अंतराल: हमेशा जांचें कि क्या $N$, $n$ से विभाज्य है। यदि $k = N/n$ एक पूर्णांक है, तो $1$ और $k$ के बीच एक यादृच्छिक शुरुआत चुनें, और प्रत्येक $k$-वीं इकाई चुनें।
Shortcut Comparison Tableशॉर्टकट तुलना तालिका
Featureविशेषता
Proportional Allocationआनुपातिक आवंटन
Neyman Allocationनेमैन आवंटन
Formulaसूत्र
$n_h = n \left(\frac{N_h}{N}\right)$$n_h = n \left(\frac{N_h}{N}\right)$
$n_h = n \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}$$n_h = n \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}$
Conditionशर्त
When costs are equal & variances unknown.जब लागत समान हो और विचरण अज्ञात हों।
When costs are equal & $S_h$ are known.जब लागत समान हो और $S_h$ ज्ञात हों।
Memory Tricks & Mnemonicsस्मृति ट्रिक्स और सूत्र
Mnemonic for Sampling Types: "SSSC" — Simple, Stratified, Systematic, Cluster. Think: "Some Students Score Centum".
प्रतिचयन प्रकारों के लिए सूत्र: "SSSC" — Simple, Stratified, Systematic, Cluster। याद रखें: "Some Students Score Centum"।
1-Page Revision Notes1-पेज संशोधन नोट्स
Sampling designs bridge population parameters and sample statistics. SRS is foundational; Stratified minimizes within-variance; Systematic acts like stratified when ordering is random; Cluster samples natural groups to minimize fieldwork costs. Understanding FPC $(1-f)$ is mandatory for finite populations when $n/N > 0.05$.
प्रतिचयन डिज़ाइन समष्टि पैरामीटर और नमूना सांख्यिकी को जोड़ते हैं। SRS मौलिक है; स्तरीकृत भीतर-विचरण को कम करता है; व्यवस्थित तब स्तरीकृत की तरह कार्य करता है जब क्रम यादृच्छिक होता है; क्लस्टर क्षेत्र कार्य लागत को कम करने के लिए प्राकृतिक समूहों का नमूना लेता है। जब $n/N > 0.05$ हो तो परिमित आबादी के लिए FPC $(1-f)$ अनिवार्य है।
One Minute Revision Bulletsएक मिनट संशोधन बिंदु
In SRSWOR, $V(\bar{y}) = \frac{S^2}{n}(1 - n/N)$.SRSWOR में, $V(\bar{y}) = \frac{S^2}{n}(1 - n/N)$ होता है।
Stratified sampling variance is smaller than SRS when strata are homogeneous.जब स्तर सजातीय होते हैं तो स्तरीकृत प्रतिचयन विचरण SRS से छोटा होता है।
Systematic sampling is equivalent to single-stage cluster sampling where clusters are systematic lists.व्यवस्थित प्रतिचयन एकल-चरण क्लस्टर प्रतिचयन के समतुल्य है जहाँ क्लस्टर व्यवस्थित सूचियाँ हैं।
Cluster sampling is efficient when clusters are internally heterogeneous and externally homogeneous.क्लस्टर प्रतिचयन तब कुशल होता है जब क्लस्टर आंतरिक रूप से विषम और बाहरी रूप से सजातीय होते हैं।
Frequently Asked Questionsअक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
Q: What is the main difference between SRSWR and SRSWOR?प्र 1: SRSWR और SRSWOR के बीच मुख्य अंतर क्या है?
A: In SRSWR, a selected unit is replaced before the next draw; in SRSWOR, it is not replaced, reducing variance via FPC.
उ: SRSWR में, अगली निकासी से पहले चयनि�� इकाई को प्रतिस्थापित किया जाता है; SRSWOR में, इसे प्रतिस्थापित नहीं किया जाता है, जिससे FPC के माध्यम से विचरण कम हो जाता है।
Q: When is Stratified Sampling preferred over Simple Random Sampling?प्र 2: सरल यादृच्छिक प्रतिचयन के मुकाबले स्तरीकृत प्रतिचयन को कब प्राथमिकता दी जाती है?
A: When the population is heterogeneous and can be divided into distinct, homogeneous subgroups (strata).
उ: जब समष्टि विषम होती है और इसे अलग-अलग, सजातीय उपसमूहों (स्तरों) में विभाजित किया जा सक���ा है।
Q: What is Finite Population Correction (FPC)?प्र 3: परिमित जनसंख्या संशोधन (FPC) क्या है?
A: The factor $(N-n)/(N-1)$ or $(1-f)$ used when sampling without replacement from a finite population.
उ: एक परिमित जनसंख्या से बिना प्रतिस्थापन के नमूना लेते समय उपयोग किया जाने वाला कारक $(N-n)/(N-1)$ या $(1-f)$।
Q: What is Neyman Allocation?प्र 4: नेमैन आवंटन क्या है?
A: An allocation method in stratified sampling where $n_h$ is proportional to $N_h S_h$ to minimize variance for a fixed sample size.
उ: स्तरीकृत प्रतिचयन में एक आवंटन विधि जहाँ निश्चित नमूना आकार के लिए विचरण को कम करने के लिए $n_h$, $N_h S_h$ के आनुपातिक होता है।
Q: What is the sampling interval in Systematic Sampling?प्र 5: व्यवस्थित प्रतिचयन में प्रतिचयन अंतराल क्या है?
A: $k = N/n$, where $N$ is population size and $n$ is sample size.
उ: $k = N/n$, जहाँ $N$ समष्टि आकार है और $n$ नमूना आकार है।
Q: Why is Systematic Sampling easier than SRS?प्र 6: व्यवस्थित प्रतिचयन SRS की तुलना में आसान क्यों है?
A: Because after selecting the first random start, all subsequent units are automatically chosen at fixed intervals $k$.
उ: क्योंकि पहली यादृच्छिक शुरुआत का चयन करने के बाद, इसके बाद की सभी इकाइयाँ स्वचालित रूप से निश्चित अंतराल $k$ पर चुनी जाती हैं।
Q: What is a Cluster Sample?प्र 7: क्लस्टर नमूना क्या है?
A sampling method where the population is divided into natural groups (clusters), and entire clusters are randomly selected.
उ: एक प्रतिचयन विधि जहाँ समष्टि को प्राकृतिक समूहों (क्लस्टर) में विभाजित किया जाता है, और संपूर्ण क्लस्टर यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं।
Q: Under what condition is Systematic Sampling less efficient?प्र 8: किस स्थिति में व्यवस्थित प्रतिचयन कम कुशल होता है?
A: When the population exhibits periodic trends matching the sampling interval $k$.
उ: जब समष्टि में प्रतिचयन अंतराल $k$ से मेल खाने वाले आवधिक रुझान (periodic trends) होते हैं।
Q: Is the sample mean an unbiased estimator in SRSWOR?प्र 9: क्या SRSWOR में नमूना माध्य एक निष्पक्ष अनुमानक है?
A: Yes, $E(\bar{y}) = \bar{Y}$.
उ: हाँ, $E(\bar{y}) = \bar{Y}$।
Q: What is Optimum Allocation?प्र 10: इष्टतम आवंटन क्या है?
A stratfied allocation that takes into account both stratum standard deviations and costs per unit to minimize variance or cost.
उ: एक स्तरीकृत आवंटन जो विचरण या लागत को कम करने के लिए स्तर के मानक विचलन और प्रति इकाई लागत दोनों को ध्यान में रखता है।
Q: How does Cluster Sampling differ from Stratified Sampling?प्र 11: क्लस्टर प्रतिचयन, स्तरीकृत प्रतिचयन से किस प्रकार भिन्न है?
A: Stratified sampling uses homogeneous subgroups and samples from all of them; cluster sampling uses heterogeneous groups and samples only selected groups.
उ: स्तरीकृत प्रतिचयन सजातीय उपसमूहों का उपयोग करता है और सभी से नमूने लेता है; क्लस्टर प्रतिचयन विषम समूहों का उपयोग करता है और केवल चयनित समूहों से नमूने लेता है।
Q: What is the variance of the estimator in Proportional Stratified Sampling?प्र 12: आनुपातिक स्तरीकृत प्रतिचयन में अनुमानक का विचरण क्या है?
उ: $V_{prop}(\bar{y}_{st}) = \frac{N-n}{N} \frac{1}{n} \sum W_h S_h^2$, जहाँ $W_h = N_h/N$ है।
Q: Can systematic sampling be used if the population size is not a multiple of $n$?प्र 13: यदि समष्टि आकार $n$ का गुणज नहीं है, तो क्या व्यवस्थित प्रतिचयन का उपयोग किया जा सकता है?
A: Yes, by using circular systematic sampling.
उ: हाँ, चक्रीय व्यवस्थित प्रतिचयन (circular systematic sampling) का उपयोग करके।
Q: What is the primary advantage of Cluster Sampling?प्र 14: क्लस्टर प्रतिचयन का प्राथमिक लाभ क्या है?
A: Reduced travel and administrative costs when the population is widely dispersed geographically.
उ: जब समष्टि भौगोलिक रूप से व्यापक रूप से फैली हुई हो तो यात्रा और प्रशासनिक लागत में कमी।
Q: Which sampling method requires a complete list of population units?प्र 15: किस प्रतिचयन विधि के लिए समष्टि इकाइयों की पूरी सूची की आवश्यकता होती है?
A: Simple Random Sampling, Stratified Sampling, and Systematic Sampling require a sampling frame, whereas Cluster Sampling may only require a list of clusters.
उ: सरल यादृच्छिक प्रतिचयन, स्तरीकृत प्रतिचयन और व्यवस्थित प्रतिचयन के लिए एक प्रतिचयन ढांचे की आवश्यकता होती है, जबकि क्लस्टर प्रतिचयन के लिए केवल क्लस्टर की सूची की आवश्यकता हो सकती है।
Conclusionनिष्कर्ष
Understanding Simple Random, Stratified, Systematic, and Cluster sampling techniques ensures complete readiness for SSC CGL Paper-III statistical sections. Practice numerical problems regularly to master allocation and variance formulas.
सरल यादृच्छिक, स्तरीकृत, व्यवस्थित और क्लस्टर प्रतिचयन तकनीकों को समझना एसएससी सीजीएल पेपर-III सांख्यिकी अनुभागों के लिए पूर्ण तैयारी सुनिश्चित करता है। आवंटन और विचरण सूत्रों में महारत हासिल करने के लिए नियमित रूप से संख्यात्मक समस्याओं का अभ्यास करें।
Q1. In Simple Random Sampling Without Replacement (SRSWOR) of size $n$ from a population of size $N$, what is the probability of selecting a specified unit in the sample?
Q1. $N$ आकार की समष्टि से $n$ आकार के प्रतिस्थापन के बिना सरल यादृच्छिक प्रतिचयन (SRSWOR) में, नमूने में एक विशिष्ट इकाई को चुनने की प्रायिकता क्या है?
(A) $\frac{n}{N}$(A) $\frac{n}{N}$
(B) $\frac{1}{N}$(B) $\frac{1}{N}$
(C) $\frac{N}{n}$(C) $\frac{N}{n}$
(D) $1 - \frac{n}{N}$(D) $1 - \frac{n}{N}$
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Correct Option: (A)���ही विकल्प: (A)
Step-by-Step Solution: The total number of possible samples of size $n$ is $\binom{N}{n}$. The number of samples containing a specified unit is $\binom{N-1}{n-1}$. Thus, probability = $\frac{\binom{N-1}{n-1}}{\binom{N}{n}} = \frac{n}{N}$.
चरण-दर-चरण हल: आकार $n$ के कुल संभव नमूनों की संख्या $\binom{N}{n}$ है। एक विशिष्ट इकाई वाले नमूनों की संख्या $\binom{N-1}{n-1}$ है। अतः प्रायिकता = $\frac{\binom{N-1}{n-1}}{\binom{N}{n}} = \frac{n}{N}$ है।
Topper's Shortcut: In SRSWOR, the inclusion probability of any unit is always equal to the sampling fraction $n/N$.
टॉपर शॉर्टकट: SRSWOR में, किसी भी इकाई की समावेश प्रायिकता हमेशा प्रतिचयन अंश $n/N$ के बराबर होती है।
Q2. What is the variance of the sample mean in SRSWR of size $n$ with population variance $S^2$?
Q2. समष्टि विचरण $S^2$ के साथ $n$ आकार के SRSWR में नमूना माध्य का विचरण क्या है?
Step-by-Step Solution: Under Simple Random Sampling with Replacement (SRSWR), draws are independent. Hence, $V(\bar{y}) = \frac{S^2}{n}$ without any Finite Population Correction factor.
चरण-दर-चरण हल: प्रतिस्थापन के साथ सरल यादृच्छिक प्रतिचयन (SRSWR) के तहत, ड्रॉ स्वतंत्र हैं। इसलिए, बिना किसी परिमित जनसंख्या संशोधन कारक के $V(\bar{y}) = \frac{S^2}{n}$ होता है।
Topper's Shortcut: Remember "With Replacement = No FPC". Drop the finite correction term $(1-f)$ for SRSWR.
टॉपर शॉर्टकट: याद रखें "प्रतिस्थापन के साथ = कोई FPC नहीं"। SRSWR के लिए परिमित संशोधन पद $(1-f)$ को हटा दें।
Q3. In Stratified Random Sampling, Proportional Allocation means the sample size from stratum $h$ ($n_h$) is:
Q3. स्तरीकृत यादृच्छिक प्रतिचयन में, आनुपातिक आवंटन का अर्थ है कि स्तर $h$ से नमूना आकार ($n_h$) है:
Step-by-Step Solution: In proportional allocation, the sample size allocated to each stratum is proportional to the size of that stratum relative to the total population, i.e., $n_h = n \left(\frac{N_h}{N}\right)$.
चरण-दर-चरण हल: आनुपातिक आवंटन में, प्रत्येक स्तर को आवंटित नमूना आकार कुल जनसंख्या के सापेक्ष उस स्तर के आकार के आनुपातिक होता है, यानी $n_h = n \left(\frac{N_h}{N}\right)$।
Topper's Shortcut: Proportional means weight by population fraction: $n_h = n \times W_h$.
टॉपर शॉर्टकट: आनुपातिक का अर्थ है जनसंख्या अंश द्वारा भार: $n_h = n \times W_h$।
Q4. Neyman allocation provides minimum variance for a fixed sample size when:
Q4. नेमैन आवंटन एक निश्चित नमूना आकार के लिए न्यूनतम विचरण प्रदान करता है जब:
(A) Costs per unit vary across strata(A) प्रति इकाई लागत स्तरों में भिन्न होती है
(B) Costs per unit are equal across strata(B) प्रति इकाई लागत सभी स्तरों में समान होती है
(C) Strata variances are equal(C) स्तर विचरण समान हैं
(D) Population sizes are equal(D) जनसंख्या आकार समान हैं
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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)
Step-by-Step Solution: Neyman allocation minimizes variance for a fixed total sample size under the assumption that the cost per unit is equal across all strata. When costs differ, Optimum allocation is used.
चरण-दर-चरण हल: नेमैन आवंटन इस धारणा के तहत एक निश्च��त कुल नमूना आकार के लिए विचरण को कम करता है कि सभी स्तरों में प्रति इकाई लागत समान है। जब लागत भिन्न होती है, तो इष्टतम आवंटन का उपयोग किया जाता है।
टॉपर शॉर्टकट: नेमैन = समान लागत की धारणा। इष्टतम = लागत परिवर्तनीय है ($c_h$)।
Q5. In a population of size $N = 100$ and sample size $n = 20$, what is the sampling interval $k$ for Systematic Sampling?
Q5. $N = 100$ आकार की जनसंख्या और $n = 20$ नमूना आकार में, व्यवस्थित प्रतिचयन के लिए प्रतिचयन अंतराल $k$ क्या है?
(A) 5(A) 5
(B) 10(B) 10
(C) 20(C) 20
(D) 50(D) 50
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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)
Step-by-Step Solution: The sampling interval $k$ is calculated as $k = \frac{N}{n} = \frac{100}{20} = 5$.
चरण-दर-चरण हल: प्रतिचयन अंतराल $k$ की गणना $k = \frac{N}{n} = \frac{100}{20} = 5$ के रू��� में की जाती है।
Topper's Shortcut: $k = N / n$ is always the first formula to apply in systematic sampling questions.
टॉपर शॉर्टकट: $k = N / n$ व्यवस्थित प्रतिचयन प्रश्नों में लागू करने के लिए हमेशा पहला सूत्र है।
Q6. Systematic sampling is generally more precise than SRSWOR if:
Q6. व्यवस्थित प्रतिचयन आमत���र पर SRSWOR की तुलना में अधिक सटीक होता है यदि:
(A) Units within the same systematic sample are heterogeneous(A) एक ही व्यवस्थित नमूने के भीतर इकाइयाँ विषम हैं
(B) There is a linear trend in the population(B) जनसंख्या में एक रैखिक प्रवृत्ति है
(C) The population is in random order(C) जनसंख्या यादृच्छिक क्रम में है
(D) Periodic variation matches $k$(D) आवधिक भिन्नता $k$ से मेल खाती है
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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)
Step-by-Step Solution: Systematic sampling functions like stratified sampling with one unit per stratum. If systematic samples are heterogeneous (meaning each sample represents the population well), variance is low and precision is high.
चरण-दर-चरण हल: व्यवस्थित प्रतिचयन प्रति स्तर एक इकाई के साथ स्तरीकृत प्रतिचयन की तरह कार्य करता है। यदि व्यवस्थित नमूने विषम हैं (या��ी प्रत्येक नमूना जनसंख्या का अच्छी तरह से प्रतिनिधित्व करता है), तो विचरण कम होता है और सटीकता उच्च होती है।
Topper's Shortcut: Think of systematic sampling as stratification where every sample contains elements spanning the entire range.
टॉपर शॉर्टकट: व्यवस्थित प्रतिचयन को स्तरीकरण के रूप में सोचें जहाँ प्रत्येक नमूने में पूरी श्रृंखला में फैले हुए तत्व होते हैं।
Q7. Which of the following sampling techniques is most vulnerable to periodic cyclical variation in the population frame?
Q7. निम्नलिखित में से कौन सी प्रतिचयन तकनीक जनसंख्या फ्रेम में आवधिक चक्रीय भिन्नता के प्रति सबसे अधिक संवेदनशील है?
(A) Simple Random Sampling(A) सरल यादृच्छिक प्रतिचयन
(B) Stratified Sampling(B) स्तरीकृत प्रतिचय���
(C) Systematic Sampling(C) व्यवस्थित प्रतिचयन
(D) Cluster Sampling(D) क्लस्टर प्रतिचयन
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Correct Option: (C)सही विकल्प: (C)
Step-by-Step Solution: If the sampling interval $k$ coincides with a periodic cycle in the population list, systematic sampling can yield heavily biased samples (e.g., sampling peak sales days only).
चरण-दर-चरण हल: यदि प्रतिचयन अंतराल $k$ जनसंख्या सूची में एक आवधिक चक्र के साथ मेल खाता है, तो व्यवस्थित प्रतिचयन अत्यधिक पक्षपाती नमूने दे सकता है (जैसे, केवल चरम बिक्री के दिनों का नमूना लेना)।
Topper's Shortcut: Systematic + Periodicity = Disaster! Always avoid systematic sampling if data has seasonal or cyclical patterns.
टॉपर शॉर्टकट: व्यवस्थित + आवधिकता = आपदा! यदि डेटा में मौसमी या चक्रीय पैटर्न हैं तो हमेशा व्यवस्थित प्रतिचयन से बचें।
Q8. In Cluster Sampling, what is the ideal characteristic of the clusters?
Q8. क्लस्टर प्रतिचयन में, क्लस्टर की आदर्श विशेषता क्या है?
(A) Clusters should be internally homogeneous and externally heterogeneous(A) क्लस्टर आंतरिक रूप से सजातीय और बाहरी रूप से विषम होने चाहिए
(B) Clusters should be internally heterogeneous and externally homogeneous(B) क्लस्टर आंतरिक रूप से विषम और बाहरी रूप से सजातीय होने चाहिए
(C) Both internal and external homogeneity(C) आंतरिक और बाहरी दोनों सजातीयता
(D) Both internal and external heterogeneity(D) आंतरिक और बाहरी दोनों वि���मता
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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)
Step-by-Step Solution: For cluster sampling to be efficient, each cluster should be a miniature version of the population (internally heterogeneous) and different clusters should be similar to one another (externally homogeneous). This is the exact opposite of Stratified Sampling.
चरण-दर-चरण हल: क्लस्टर प्रतिचयन के कुशल होने के लिए, प्रत्येक क्लस्टर जनसंख्या का लघु रूप होना चाहिए (आंतरिक रूप से विषम) और विभिन्न क्लस्टर एक-दूसरे के समान होने चाहिए (बाहरी रूप से सजातीय)। यह स्तरीकृत प्रतिचयन के बिल्कुल विपरीत है।
टॉपर शॉर्टकट: स्तरीकृत = भीतर-सजातीय, बीच-विषम। क्लस्टर = भीत���-विषम, बीच-सजातीय। इस अंतर को याद रखें!
Q9. If the Finite Population Correction (FPC) term $(1 - n/N)$ approaches 1, what does it signify?
Q9. यदि परिमित जनसंख्या संशोधन (FPC) पद $(1 - n/N)$ 1 के करीब पहुंचता है, तो यह क्या दर्शाता है?
(A) The sample size $n$ is very large compared to $N$(A) $N$ की तुलना में नमूना आकार $n$ बहुत बड़ा है
(B) The sample size $n$ is very small compared to $N$(B) $N$ की तुलना में नमूना आकार $n$ बहुत छोटा है
(C) The population variance is zero(C) जनसंख्या विचरण शून्य है
(D) Sampling is done with replacement(D) प्रतिचयन प्रतिस्थापन के साथ किया जाता है
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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)
Step-by-Step Solution: As $n$ becomes very small relative to $N$, the ratio $n/N \to 0$, making $(1 - n/N) \to 1$. In such cases, FPC can be ignored.
चरण-दर-चरण हल: चूँकि $n$, $N$ के सापेक्ष बहुत छोटा हो जाता है, अनुपात $n/N \to 0$ हो जाता है, जिससे $(1 - n/N) \to 1$ हो जाता है। ऐसे मामलों में, FPC को अनदेखा किया जा सकता है।
Topper's Shortcut: Small sample relative to huge population $\implies$ ignore FPC because $(1 - f) \approx 1$.
टॉपर शॉर्टकट: विशाल जनसंख्या के सापेक्ष छोटा नमूना $\implies$ FPC को अनदेखा करें क्योंकि $(1 - f) \approx 1$ होता है।
Q10. Which sampling design requires the minimum amount of geographical travel for surveyors when studying a widely spread population?
Q10. व्यापक रूप से फैली हुई जनसंख्या का अध्ययन करते समय किस प्रतिचयन डिज़ाइन के लिए सर्वेक्षणकर्ताओं को न्यूनतम भौगोलिक यात्रा की आवश्यकता होती है?
(A) Simple Random Sampling(A) सरल यादृच्छिक प्रतिचयन
(B) Stratified Sampling(B) स्तरीकृत प्रतिचयन
(C) Cluster Sampling(C) क्लस्टर प्रतिचयन
(D) Systematic Sampling(D) व्यवस्थित प्रतिच��न
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Correct Option: (C)सही विकल्प: (C)
Step-by-Step Solution: Cluster sampling groups nearby elements into clusters. Surveyors only visit selected clusters, which significantly minimizes travel costs and time compared to SRS where units are scattered everywhere.
चरण-दर-चरण हल: क्लस्टर प्रतिचयन पा�� के तत्वों को क्लस्टर में समूहित करता है। सर्वेक्षणकर्ता केवल चयनित क्लस्टरों का दौरा करते हैं, जो SRS की तुलना में यात्रा लागत और समय को काफी कम करता है जहाँ इकाइयाँ हर जगह बिखरी होती हैं।
Topper's Shortcut: Cluster sampling = Cost-saving champion for field surveys due to localized grouping.
टॉपर शॉर्टकट: क्लस्टर प्रतिचयन = स्थानीयकृत समूहन के कारण फील्ड सर्वेक्षणों के लिए लागत बचाने वाला चैं���ियन।
Q1. (SSC CGL PYQ) In Stratified Random Sampling, if proportional allocation is used with $N_1 = 400$, $N_2 = 600$, and total sample size $n = 100$, what is the sample size $n_1$ from the first stratum?
Q1. (SSC CGL PYQ) स्तरीकृत यादृच्छिक प्रतिचयन में, यदि $N_1 = 400$, $N_2 = 600$, और कुल नमूना आकार $n = 100$ के साथ आनुपातिक आवंटन का उपयोग किया जाता है, तो पहले स्तर से नमूना आकार $n_1$ क्या है?
(A) 40(A) 40
(B) 60(B) 60
(C) 50(C) 50
(D) 30(D) 30
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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)
Step-by-Step Solution: Total population $N = N_1 + N_2 = 400 + 600 = 1000$. Under proportional allocation, $n_1 = n \left(\frac{N_1}{N}\right) = 100 \times \left(\frac{400}{1000}\right) = 40$.
चरण-दर-चरण हल: कुल जनसंख्या $N = N_1 + N_2 = 400 + 600 = 1000$ है। आनुपातिक आवंटन के तहत, $n_1 = n \left(\frac{N_1}{N}\right) = 100 \times \left(\frac{400}{1000}\right) = 40$ है।
Q2. (SSC CGL PYQ) If a population of 500 units is to be sampled using systematic sampling with a sample size of 50, the sampling interval $k$ is:
Q2. (SSC CGL PYQ) यदि 500 इकाइयों की जनसंख्या का 50 के नमूना आकार के साथ व्यवस्थित प्रतिचयन का उपयोग करके नमूना लिया जाना है, तो प्रतिचयन अंतराल $k$ है:
चरण-दर-चरण हल: $k = \frac{N}{n} = \frac{500}{50} = 10$ है।
Topper's Shortcut: Direct application of $k = N/n$.
टॉपर शॉर्टकट: $k = N/n$ का प्रत्यक्ष अनुप्रयोग।
Q3. (SSC CGL PYQ) Which of the following sampling methods is a non-probability sampling technique?
Q3. (SSC CGL PYQ) निम्नलिखित में से कौन सी प्रतिचयन विधि एक गैर-प्रायिकता प्रतिचयन तकनीक है?
(A) Simple Random Sampling(A) सरल यादृच्छिक प्रतिचयन
(B) Quota Sampling(B) कोटा प्रतिचयन
(C) Stratified Sampling(C) स्तरीकृत प्रतिचयन
(D) Systematic Sampling(D) व्यवस्��ित प्रतिचयन
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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)
Step-by-Step Solution: Quota sampling relies on the subjective judgment of the researcher rather than random selection, making it a non-probability method. All other options are probability sampling designs.
चरण-दर-चरण हल: कोटा प्रतिचयन य��दृच्छिक चयन के बजाय शोधकर्ता के व्यक्तिपरक निर्णय पर निर्भर करता है, जिससे यह एक गैर-प्रायिकता विधि बन जाती है। अन्य सभी विकल्प प्रायिकता प्रतिचयन डिज़ाइन हैं।
Topper's Shortcut: Remember: Quota, Convenience, Judgment, and Snowball are non-probability methods.
टॉपर शॉर्टकट: याद रखें: कोटा, सुविधा, निर्णय और स्नोबॉल गैर-प्रायिकता विधियाँ हैं।
Q4. (SSC CGL PYQ) In Stratified Random Sampling, if $V_{srs}$ is the variance under SRS and $V_{st}$ is the variance under stratified sampling with proportional allocation, then:
Q4. (SSC CGL PYQ) स्तरीकृत यादृच्छिक प्रतिचयन में, यदि $V_{srs}$, SRS के तहत विचरण है और $V_{st}$, आनुपातिक आवंटन के साथ स्तरीकृत प्रतिचयन के तहत विचरण है, तो:
Step-by-Step Solution: Stratified sampling with proportional allocation is always at least as precise as (or more precise than) simple random sampling, hence $V_{st} \le V_{srs}$.
चरण-दर-चरण हल: आनुपातिक आवंटन के साथ स्तरीकृत प्रतिचयन हमेशा सरल यादृच्छिक प्रतिचयन जितना सटीक (या अधिक सटीक) होता है, इसलिए $V_{st} \le V_{srs}$ होता है।
Topper's Shortcut: Stratification never increases variance compared to SRS if strata are properly formed.
टॉपर शॉर्टकट: यदि स���तर ठीक से बनाए गए हैं तो स्तरीकरण SRS की तुलना में कभी भी विचरण नहीं बढ़ाता है।
Q5. (SSC CGL PYQ) The variance of the sample mean in SRSWOR is multiplied by which factor to account for finite population size?
Q5. (SSC CGL PYQ) परिमित जनसंख्या आकार को ध्यान में रखने के लिए SRSWOR में नमूना माध्य के विचरण को किस कारक से गुणा किया जाता है?
(A) $\frac{N-1}{N-n}$(A) $\frac{N-1}{N-n}$
(B) $\frac{N-n}{N}$(B) $\frac{N-n}{N}$
(C) $\frac{n}{N}$(C) $\frac{n}{N}$
(D) $\frac{N}{N-1}$(D) $\frac{N}{N-1}$
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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)
Step-by-Step Solution: The Finite Population Correction (FPC) factor is $(1 - f) = 1 - \frac{n}{N} = \frac{N-n}{N}$.
चरण-दर-च��ण हल: परिमित जनसंख्या संशोधन (FPC) कारक $(1 - f) = 1 - \frac{n}{N} = \frac{N-n}{N}$ है।
Topper's Shortcut: FPC factor is $(N-n)/N = 1 - n/N$. Memorize standard notation.
Q6. (SSC CGL PYQ) If the population is divided into groups and a random sample of these groups is selected, with all elements in the selected groups being surveyed, this method is called:
Q6. (SSC CGL PYQ) यदि जनसंख्या को समूहों में विभाजित किया जाता है और इन समूहों का एक यादृच्छिक नमूना चुना जाता है, जिसमें चयनित समूहों के सभी तत्वों का सर्वेक्षण किया जाता है, तो इस विधि को कहा जाता है:
(A) Stratified Sampling(A) स्तरीकृत प्रतिचयन
(B) Cluster Sampling(B) क्लस्टर प्रतिचयन
(C) Systematic Sampling(C) व्यवस्थित प्रतिचयन
(D) Quota Sampling(D) कोटा प्रतिचयन
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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)
Step-by-Step Solution: Selecting entire groups (clusters) randomly and surveying all elements within those clusters defines Cluster Sampling.
चरण-दर-चरण हल: संपूर्ण समूहों (क्लस्टर) को यादृच्छिक रूप से चुनना और उन क्लस्टरों के भीतर सभी तत्वों का सर्वेक्षण करना क्लस्टर प्रतिचयन को परिभाषित करता है।
Topper's Shortcut: Sample groups, survey ALL within them = Cluster Sampling. Sample from EVERY group = Stratified Sampling.
टॉपर शॉर्टकट: नमूना समूह, उनके भीतर सभी का सर्वेक्षण = क्लस्टर प्रत���चयन। प्रत्येक समूह से नमूना = स्तरीकृत प्रतिचयन।
Q7. (SSC CGL PYQ) Neyman allocation formula for stratum sample size $n_h$ is given by:
Q7. (SSC CGL PYQ) स्तर नमूना आकार $n_h$ के लिए नेमैन आवंटन सूत्र किसके द्वारा दिया जाता है:
(A) $n_h = n \frac{N_h}{N}$(A) $n_h = n \frac{N_h}{N}$
(B) $n_h = n \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}$(B) $n_h = n \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}$
(C) $n_h = n \frac{S_h}{\sum S_h}$(C) $n_h = n \frac{S_h}{\sum S_h}$
(D) $n_h = n \frac{N_h / S_h}{\sum (N_h / S_h)}$(D) $n_h = n \frac{N_h / S_h}{\sum (N_h / S_h)}$
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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)
Step-by-Step Solution: Neyman allocation assigns sample size proportional to $N_h S_h$, represented by $n_h = n \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}$.
चरण-दर-चरण हल: नेमैन आवंटन $N_H S_H$ के आनुपातिक नमूना आकार निर्दिष्ट करता है, जिसे $n_h = n \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
टॉपर शॉर्टकट: सोचें "नेमैन को $N$ और $S$ चाहिए" $\implies N_h S_h$ अंश।
Q8. (SSC CGL PYQ) What is the main advantage of Stratified Sampling over Simple Random Sampling?
Q8. (SSC CGL PYQ) सरल यादृच्छिक प्रतिचयन की तुलना में स्तरीकृत प्रतिचयन का मुख्य लाभ क्या है?
(A) It is cheaper to execute(A) इसे निष्पादित करना सस्ता है
(B) It increases precision and reduces variance of the estimator(B) यह सटीकता बढ़ाता है और अनुमानक के विचरण को कम करता है
(C) It does not require a sampling frame(C) इसके लिए प्रतिचयन ढांचे की आवश्यकता नहीं होती है
(D) It eliminates sampling errors completely(D) यह प्रतिचयन त्रुटियों को पूरी तरह से समाप्त कर देता है
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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)
Step-by-Step Solution: By dividing population into homogeneous strata, within-stratum variance is reduced, leading to higher precision and lower variance for the population mean estimator.
चरण-दर-चरण हल: जनसंख्या को सजातीय स्तरों में विभाजित करके, स्तर के भीतर का विचरण कम हो जाता है, जिससे जनसंख्या माध्य अनुमानक के लिए उच्च सटीकता और कम विचरण होता है।