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Standard Deviation Relative Dispersion

Complete 5-Tab SSC CGL Statistics Guide: Theory, Shortcuts, Notes & FAQs, Practice MCQs, & PYQs.

1. Concept & Detailed Theory: Standard Deviation and Relative Dispersion1. अवधारणा और विस्तृत सिद्धांत: मानक विचलन और सापेक्ष अपکीर्ण

Quick Overviewत्वरित अवलोकन

Standard deviation is the most widely used absolute measure of dispersion, reflecting how data values are spread around the mean. However, when comparing variability across different datasets with varying units or distinct means, relative measures of dispersion are essential. This section covers absolute vs. relative dispersion, coefficients of variation, standard deviation properties, and mathematical derivations crucial for SSC CGL Paper-III.

मानक विचलन अपकीर्ण का सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला निरपेक्ष माप है, जो यह दर्शाता है कि डेटा मूल्य माध्य के चारों ओर कैसे फैле हैं। हालांकि, विभिन्न इकाइयों या अलग-अलग माध्य वाले विभिन्न डेटासेटों में परिवर्तनशीलता की तुलना करते समय, अपकीर्ण के सापेक्ष माप आवश्यक होते हैं। य�� अनुभाग एसएससी सीजीएल पेपर-III के लिए महत्वपूर्ण निरपेक्ष बनाम सापेक्ष अपकीर्ण, विचरण गुणांक, मानक विचलन गुणों और गणितीय व्युत्पत्तियों को कवर करता है।

Learning Objectivesसीखने के उद्देश्य

Master the concepts of Absolute and Relative Dispersion.निरपेक्ष और सापेक्ष अपकीर्ण की अवधारणाओं में महारत हासिल करना।
Understand Standard Deviation and Variance formulas for individual, discrete, and continuous series.व्यक्तिगत, असतत और सतत श्रृंखला के लिए मानक विचलन और प्रसरण सूत्रों को समझना।
Calculate and interpret the Coefficient of Variation (CV).विचरण गुणांक (CV) की गणना करना और उसकी व्याख्या करना।
Apply properties of standard deviation to solve complex SSC CGL level problems.जटिल एसएससी सीजीएल स्तर की समस्याओं को हल करने के लिए मानक विचलन کے गुणों को लागू करना।

Concept Introduction: Dispersion & Relative Dispersionअवधारणा परिचय: अपकीर्ण और सापेक्ष अपकीर्ण

Dispersion measures the extent to which values in a distribution are scattered away from a central value (like mean or median). Absolute measures (like Range, Quartile Deviation, Mean Deviation, Standard Deviation) are expressed in the same units as the data. Relative measures of dispersion are unit-less ratios or percentages that allow comparison between two or more distributions even if their units or scales differ.

अपकीर्ण यह मापता है कि किसी वितरण में मूल्य केंद्रीय मूल्य (जैसे माध्य या माध्यिका) से कितनी दूर फैले हुए हैं। निरपेक्ष माप (जैसे परिसर, चतुर्थक विचलन, माध्य विचलन, मानक विचलन) ड��टा के समान इकाइयों में व्यक्त किए जाते हैं। अपकीर्ण के सापेक्ष माप इकाई-रहित अनुपात या प्रतिशत हैं जो दो या दो से अधिक वितरणों के बीच तुलना की अनुमति देते हैं, भले ही उनकी इकाइयां या पैमाने भिन्न हों।

Real-Life Applications in Statistics & SSC CGLसांख्यिकी और एसएससी सीजीएल में वास्तविक जीवन के अनुप्रयोग

In finance, the Coefficient of Variation is used to measure portfolio risk per unit of expected return. In quality control, manufacturing plants compare the stability of production processes using relative dispersion. In SSC CGL Statistics Paper-III, questions frequently test your ability to determine consistency, stability, and comparative risk between datasets using the Coefficient of Variation.

वित्त में, अपेक्षित रिटर्न की प्रति इकाई पोर्टफोलियो जोखिम को मापने के लिए विचरण गुणांक का उपयोग किया जाता है। गुणवत्ता नियंत्रण में, विनिर्माण संयंत्र सापेक्ष अपकीर्ण का उपयोग करके उत्पादन प्रक्रियाओं की स्थिरता की तुलना करते हैं। एसएससी सीजीएल सांख्यिकी पेपर-III में, प्रश्न अक्सर विचरण गुणांक का उपयोग करके डेटासेट के बीच स्थिरता, स्थिरता और तुलनात्मक जोखिम को निर��धारित करने की आपकी क्षमता का परीक्षण करते हैं।

Important Terms & Definitionsमहत्वपूर्ण शब्द और परिभाषाएँ

Termशब्द	Definition / Meaningपरिभाषा / अर्थ
Variance ($\sigma^2$)प्रसरण ($\sigma^2$)	The arithmetic mean of the squared deviations of values from their arithmetic mean.मानों के उनके अंकगणितीय माध्य से वर्गित विचलनों का अंकगणितीय माध्य।
Standard Deviation ($\sigma$)मानक विचलन ($\sigma$)	The positive square root of the variance, expressed in original units.प्रसरण का धनात्मक वर्गमूल, मूल इकाइयों में व्यक्त।
Coefficient of Variation (CV)विचरण गुणांक (CV)	A relative measure of dispersion defined as $\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$.अपकीर्ण का एक सापेक्ष माप जिसे $\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
Coefficient of Standard Deviationमानक विचलन गुणांक	The ratio of standard deviation to the mean, i.e., $\frac{\sigma}{\bar{x}}$.मानक विचलन का माध्य से अनुपात, अर्थात् $\frac{\sigma}{\bar{x}}$।

Formula Sheetसूत्र तालिका

Series Typeश्रृंखला का प्रकार	Standard Deviation ($\sigma$) Formulaमानक विचलन ($\sigma$) सूत्र	Coefficient of Variation (CV)विचरण गुणांक (CV)
Individual Seriesव्यक्तिगत श्रृंखला	$\sqrt{\frac{\sum (x - \bar{x})^2}{N}}$ or $\sqrt{\frac{\sum x^2}{N} - \left(\frac{\sum x}{N}\right)^2}$$\sqrt{\frac{\sum (x - \bar{x})^2}{N}}$ या $\sqrt{\frac{\sum x^2}{N} - \left(\frac{\sum x}{N}\right)^2}$	$\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$$\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$
Discrete Seriesअसतत श्रृंखला	$\sqrt{\frac{\sum f(x - \bar{x})^2}{N}}$ where $N = \sum f$$\sqrt{\frac{\sum f(x - \bar{x})^2}{N}}$ जहाँ $N = \sum f$	$\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$$\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$
Continuous Seriesसतत श्रृंखला	$\sqrt{\frac{\sum f d^2}{N} - \left(\frac{\sum fd}{N}\right)^2} \times h$ (using step-deviation)$\sqrt{\frac{\sum f d^2}{N} - \left(\frac{\sum fd}{N}\right)^2} \times h$ (पद-विचलन विधि)	$\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$$\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$

Mathematical Derivations & Key Propertiesगणितीय व्युत्पत्ति और मुख्य गुण

Property 1 (Change of Origin): Standard deviation is independent of change of origin. If $y = x \pm a$, then $\sigma_y = \sigma_x$.

गुण 1 (मूल परिवर्तन): मानक विचलन मूल परिवर्तन से स्वतंत्र होता है। यदि $y = x \pm a$, तो $\sigma_y = \sigma_x$ होता है।

Property 2 (Change of Scale): Standard deviation depends on change of scale. If $y = c x$, then $\sigma_y = |c| \sigma_x$.

गुण 2 (पैमाने का परिवर्तन): मानक विचलन पैमाने के परिवर्तन पर निर्भर करता है। यदि $y = c x$, तो $\sigma_y = |c| \sigma_x$ होता है।

Property 3 (Combined Standard Deviation): For two groups with sizes $N_1, N_2$, means $\bar{x}_1, \bar{x}_2$, and standard deviations $\sigma_1, \sigma_2$:

गुण 3 (संयुक्त मानक विचलन): आकार $N_1, N_2$, माध्य $\bar{x}_1, \bar{x}_2$, और मानक विचलन $\sigma_1, \sigma_2$ वाले दो समूहों के लिए:

$$\sigma_{12} = \sqrt{\frac{N_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + N_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{N_1 + N_2}}$$

where $d_1 = \bar{x}_1 - \bar{x}_{12}$ and $d_2 = \bar{x}_2 - \bar{x}_{12}$ with $\bar{x}_{12}$ being the combined mean.

जहाँ $d_1 = \bar{x}_1 - \bar{x}_{12}$ और $d_2 = \bar{x}_2 - \bar{x}_{12}$ हैं तथा $\bar{x}_{12}$ संयुक्त माध्य है।

2. Shortcuts & Topper Tricks2. शॉर्टकट और टॉपर ट्रिक्स

Fast Calculation Methods & Exam Tricksतेज़ गणना विधियाँ और परीक्षा ट्रिक्स

In SSC CGL Paper-III, time management is paramount. Instead of computing $\sum (x - \bar{x})^2$ directly (which becomes tedious when $\bar{x}$ is a fraction), always use the raw score formula: $\sigma = \sqrt{\frac{\sum x^2}{N} - \left(\frac{\sum x}{N}\right)^2}$.

एसएससी सीजीएल पेपर-III में, समय प्रबंधन सर्वोपरि है। सीधे $\sum (x - \bar{x})^2$ की गणना करने के बजाय (जो $\bar{x}$ भिन्न होने पर थकाऊ हो जाता है), हमेशा कच्चे स्कोर सूत्र का उपयोग करें: $\sigma = \sqrt{\frac{\sum x^2}{N} - \left(\frac{\sum x}{N}\right)^2}$।

Shortcut Comparison Tableशॉर्टकट तुलना तालिका

Problem Typeसमस्या का प्रकार	Traditional Methodपारंपरिक विधि	SJMaths Topper Shortcutएसजेमैथ्स टॉपर शॉर्टकट
SD of First $n$ Natural Numbersप्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का मानक विचलन	Find mean, subtract each from mean, square, sum, and divide by $n$.माध्य ज्ञात करें, प्रत्येक को माध्य से घटाएं, वर्ग करें, जोड़ें और $n$ से भाग दें।	Direct Formula: $\sigma = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{12}}$प्रत्यक्ष सूत्र: $\sigma = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{12}}$
SD of AP with common difference $d$सार्वअंतर $d$ वाली समांतर श्रेणी का मानक विचलन	Find terms, compute mean, use standard deviation formula.पद ज्ञात करें, माध्य निकालें, मानक विचलन सूत्र का उपयोग करें।	$\sigma = d \times \sqrt{\frac{n^2 - 1}{12}}$$\sigma = d \times \sqrt{\frac{n^2 - 1}{12}}$
Effect on SD when each observation is multiplied by $k$प्रत्येक प्रेक्षण को $k$ से गुणा करने पर मानक विचलन पर प्रभाव	Transform all numbers, recalculate mean and SD from scratch.सभी संख्याओं को बदलें, नए सिरे से माध्य और मानक विचलन की गणना करें।	New SD = $\|k\| \times$ Original SDनया SD = $\|k\| \times$ मूल SD

Memory Tricks & Mnemonicsस्मरण ट्रिक्स और सूत्र वाक्य

Mnemonic for Coefficient of Variation: "Sigma on Mean, multiplied by Hundred, CV is secured!" ($\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$). Remember that the lower the CV, the more consistent and stable the dataset is.

विचरण गुणांक के लिए सूत्र वाक्य: "माध्य पर सिग्मा, सौ से गुणा, सीवी पक्का!" ($\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$)। याद रखें कि सीवी जितना कम होगा, डेटासेट उतना ही सुसंगत और स्थिर होगा।

3. Revision Notes & 15 SEO FAQs3. संशोधन नोट्स और 15 एसईओ अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

1-Page Revision Notes1-पृष्ठ संशोधन नोट्स

Variance ($\sigma^2$): Mean of squared deviations from the arithmetic mean.प्रसरण ($\sigma^2$): अंकगणितीय माध्य से वर्गित विचलनों का माध्य।
Standard Deviation ($\sigma$): Square root of variance; unaffected by change of origin, affected by scale.मानक विचलन ($\sigma$): प्��सरण का वर्गमूल; मूल परिवर्तन से प्रभावित नहीं, पैमाने से प्रभावित।
Coefficient of Variation (CV): $\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$. Used for comparing variability of two or more series.विचरण गुणांक (CV): $\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$। दो या दो से अधिक श्रृंखलाओं की परिवर्तनशीलता की तुलना करने के लिए प्रयुक्त।
Consistency Test: Series with lower CV is more consistent, uniform, and stable.संगति परीक्षण: कम CV वाली श्रृंखला अधिक सुसं��त, एक समान और स्थिर होती है।

One Minute Revision Bulletsएक मिनट संशोधन बिंदु

Sum of deviations from mean is always zero ($\sum(x-\bar{x}) = 0$).माध्य से विचलनों का योग हमेशा शून्य होता है ($\sum(x-\bar{x}) = 0$)।
Sum of squared deviations is minimum when taken from the mean.माध्य से लिए जाने पर वर्गित विचलनों का योग न्यूनतम होता है।
For a constant series (all observations equal), $\sigma = 0$.स्थिर श्रृंखला के लिए (सभी प्रेक्षण समान), $\sigma = 0$।

Conceptual Questions for Self-Testस्व-परीक्षण के लिए वैचारिक प्रश्न

If all observations in a dataset are increased by 5, what happens to the standard deviation?यदि किसी डेटासेट में सभी प्रेक्षणों को 5 बढ़ा दिया जाए, तो मानक विचलन का क्या होता है?
Can standard deviation ever be negative? Why or why not?क्या मानक विच��न कभी ऋणात्मक हो सकता है? क्यों या क्यों नहीं?

Frequently Asked Questionsअक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

Q1. What is standard deviation in simple terms?
A: Standard deviation measures how spread out numbers are from their average value.

Q1. सरल शब्दों में मानक विचलन क्या है?
उ: मानक विचलन यह मापता है कि संख्याएं उनके औसत मान से कितनी फैली हुई हैं।

Q2. Why do we need relative dispersion?
A: To compare variability between datasets having different units or different means.

Q2. हमें सापेक्ष अपकीर्ण की आवश्यकता क्यों है?
उ: विभिन्न इकाइयों या विभिन्न माध्य वाले डेटासेट के बीच परिवर्तनशीलता की तुलना करने के लिए।

Q3. What is the formula for Coefficient of Variation?
A: $\text{CV} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$.

Q3. विचरण गुणांक का सूत्र क्या है?
उ: $\text{CV} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$।

Q4. How does change of origin affect standard deviation?
A: It has no effect. Adding or subtracting a constant does not change SD.

Q4. मूल परिवर्तन मानक विचलन को कैसे प्रभावित करता है?
उ: इसका कोई प्रभाव नहीं पड़ता। किसी स्थिरांक को जोड़ने या घटाने से SD नहीं बदलता।

Q5. How does change of scale affect standard deviation?
A: Multiplying by a constant $c$ multiplies the SD by $|c|$.

Q5. पैमाने का परिवर्तन मानक विचलन को कैसे प्रभावि�� करता है?
उ: किसी स्थिरांक $c$ से गुणा करने पर SD, $|c|$ से गुणा हो जाता है।

Q6. Which dataset is more consistent: one with high CV or low CV?
A: Low CV indicates higher consistency and stability.

Q6. कौन सा डेटासेट अधिक सुसंगत है: उच्च CV वाला या निम्न CV वाला?
उ: निम्न CV उच्च स्थिरता और सुसंगतता को इंगित करता है।

Q7. What is the standard deviation of first $n$ natural numbers?
A: $\sqrt{\frac{n^2 - 1}{12}}$.

Q7. प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का मानक विचलन क��या है?
उ: $\sqrt{\frac{n^2 - 1}{12}}$।

Q8. Is variance measured in the same unit as data?
A: No, variance is in squared units, whereas standard deviation is in original units.

Q8. क्या प्रसरण डेटा के समान इकाई में मापा जाता है?
उ: नहीं, प्रसरण वर्ग इकाइयों में होता है, जबकि मानक विचलन मूल इकाइयों में होता है।

Q9. Can standard deviation be zero?
A: Yes, when all observations in the dataset are identical.

Q9. क्या मानक विचलन शून्य हो सकता है?
उ: हाँ, जब डेटासेट के स��ी प्रेक्षण समान हों।

Q10. How is variance related to standard deviation?
A: Variance is the square of standard deviation ($\sigma^2$).

Q10. प्रसरण मानक विचलन से कैसे संबंधित है?
उ: प्रसरण मानक विचलन का वर्ग है ($\sigma^2$)।

Q11. What is the empirical relationship between mean deviation and standard deviation?
A: Roughly, $\text{MD} \approx \frac{4}{5}\sigma$ and $\text{QD} \approx \frac{2}{3}\sigma$ for a normal distribution.

Q11. माध्य विचलन और मानक विचलन के बीच अनुभवजन्य संबंध क्या है?
उ: सामान्य वितरण के लिए ��गभग, $\text{MD} \approx \frac{4}{5}\sigma$ और $\text{QD} \approx \frac{2}{3}\sigma$।

Q12. Why is standard deviation preferred over mean deviation?
A: Because algebraic signs are not ignored by arbitrarily dropping them; squaring avoids this mathematically.

Q12. माध्य विचलन की तुलना में मानक विचलन को क्यों प्राथमिकता दी जाती है?
उ: क्योंकि बीजगणितीय चिन्हों को मनमाने ढंग से हटाकर नजरअंदाज नहीं किया जाता; वर्ग करना इसे गणितीय रूप से टालता है।

Q13. How do you find combined standard deviation?
A: Using the combined standard deviation formula incorporating group sizes, means, and individual SDs.

Q13. संयुक्त मानक विचलन कैसे ज्ञात करते हैं?
उ: समूह के आकार, माध्य और व्यक्तिगत SD को शामिल करने वाले संयुक्त मानक विचलन सूत्र का उपयोग करके।

Q14. What is the coefficient of standard deviation?
A: The ratio of standard deviation to the arithmetic mean ($\frac{\sigma}{\bar{x}}$).

Q14. मानक विचलन गुणांक क्या है?
उ: मानक विचलन का अंकगणितीय माध्य से अनुपात ($\frac{\sigma}{\bar{x}}$)।

Q15. Are these concepts important for SSC CGL Paper-III?
A: Absolutely, questions on SD, variance, and CV frequently appear in Statistics Paper-III.

Q15. क्या ये अवधारणाएँ एसएससी सीजीएल पेपर-III के लिए महत्वपूर्ण हैं?
उ: बिल्कुल, SD, प्रसरण और CV पर प्रश्न सांख्यिकी पेपर-III में लगातार आते हैं।

Internal Links & External Referencesआंतरिक लिंक और बाहरी संदर्भ

Explore related topics on SJMaths: Central Tendency: Mean, Median, Mode | Skewness, Kurtosis & Moments.

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Conclusionनिष्कर्ष

Standard deviation and relative dispersion form the cornerstone of statistical analysis. Mastering these concepts, properties, and the coefficient of variation ensures top-tier performance in SSC CGL Paper-III.

मानक विचलन और सापेक्ष अपकीर्ण सांख्यिकी विश्लेषण की आधारशिला बनाते हैं। इन अवधारणाओं, गुणों और विचरण गुणांक में महारत हासिल करना एसएससी सीजीएल पेपर-III में शीर्ष-स्तरीय प्रदर्शन सुनिश्चित करता है।

4. Solved Practice MCQs4. हल किए गए अभ्यास बहुविकल्पीय प्रश्न

Q1. If the standard deviation of a dataset is $5$ and the mean is $20$, what is the Coefficient of Variation (CV)?

Q1. यदि किसी डेटासेट का मानक विचलन $5$ और माध्य $20$ है, तो विचरण गुणांक (CV) क्या है?

(A) $15\%$(A) $15\%$

(B) $20\%$(B) $20\%$

(D) $30\%$(D) $30\%$

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Correct Option: (C)सही विकल्प: (C)

Step-by-Step Solution: Coefficient of Variation $\text{CV} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 = \frac{5}{20} \times 100 = 25\%$.

चरण-दर-चरण हल: विचरण गुणांक $\text{CV} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 = \frac{5}{20} \times 100 = 25\%$।

Topper's Shortcut: $\frac{5}{20}$ is $\frac{1}{4}$, which directly equals $25\%$.

टॉपर शॉर्टकट: $\frac{5}{20}$, $\frac{1}{4}$ है, जो सीधे $25\%$ के बराबर है।

Q2. What is the standard deviation of the first $10$ natural numbers?

Q2. प्रथम $10$ प्राकृतिक संख्याओं का मानक विचलन क्या है?

(A) $\sqrt{99}/12$(A) $\sqrt{99}/12$

(B) $\sqrt{33}/2$(B) $\sqrt{33}/2$

(D) $\sqrt{33}/4$(D) $\sqrt{33}/4$

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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: For first $n$ natural numbers, $\sigma = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{12}}$. Put $n = 10$: $\sigma = \sqrt{\frac{100 - 1}{12}} = \sqrt{\frac{99}{12}} = \sqrt{\frac{33}{4}} = \frac{\sqrt{33}}{2}$.

चरण-दर-चरण हल: प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के लिए, $\sigma = \sqrt{\frac{n^2 - 1}{12}}$। $n = 10$ रखें: $\sigma = \sqrt{\frac{100 - 1}{12}} = \sqrt{\frac{99}{12}} = \sqrt{\frac{33}{4}} = \frac{\sqrt{33}}{2}$।

Topper's Shortcut: Memorize the formula $\sqrt{\frac{n^2-1}{12}}$ and simplify fraction $\frac{99}{12}$ to $\frac{33}{4}$ instantly.

टॉपर शॉर्टकट: सूत्र $\sqrt{\frac{n^2-1}{12}}$ याद रखें और भिन्न $\frac{99}{12}$ को तुरंत $\frac{33}{4}$ में सरल करें।

Q3. If each observation of a set is multiplied by $-3$, the variance of the new observations:

Q3. यदि किसी सेट के प्रत्येक प्रेक्षण को $-3$ से गुणा किया जाए, तो नए प्रेक्षणों का प्रसरण:

(A) Increases by 9 times(A) 9 गुना बढ़ जाता है

(B) Decreases by 3 times(B) 3 गुना घट जाता है

(D) Increases by 3 times(D) 3 गुना बढ़ जाता है

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: If $y = c x$, then $\sigma_y^2 = c^2 \sigma_x^2$. Here $c = -3$, so $c^2 = (-3)^2 = 9$. Thus, variance becomes 9 times the original.

चरण-दर-चरण हल: यदि $y = c x$, तो $\sigma_y^2 = c^2 \sigma_x^2$ होता है। यहाँ $c = -3$ है, अतः $c^2 = (-3)^2 = 9$। इस प्रकार, प्रसरण मूल का 9 गुना हो जाता है।

Topper's Shortcut: Squaring any multiplier removes the negative sign and multiplies variance by $(-3)^2 = 9$.

टॉपर शॉर्टकट: किसी भी गुणक का वर्ग करने से ऋणात्मक चिन्ह हट जाता है और प्रसरण $(-3)^2 = 9$ से गुणा हो जाता है।

Q4. Which of the following is an absolute measure of dispersion?

Q4. निम्नलिखित में से कौन सा अपकीर्ण का एक निरपेक्ष माप है?

(A) Coefficient of Variation(A) विचरण गुणांक

(B) Standard Deviation(B) मानक विचलन

(D) Coefficient of Mean Deviation(D) माध्य विचलन गुणांक

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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: Standard deviation is expressed in original units and is an absolute measure. All other options are relative/coefficient measures.

चरण-दर-चरण हल: मानक विचलन मूल इकाइयों में व्यक्त किया जाता है और यह एक निरपेक्ष माप है। अन्य सभी विकल्प सापेक्ष/गुणांक माप हैं।

Topper's Shortcut: Any measure containing the word "Coefficient" is a relative measure.

टॉपर शॉर्टकट: "गुणांक" शब्द युक्त कोई भी माप एक सापेक्ष माप होता है।

Q5. If the sum of squares of observations is $400$, number of observations is $10$, and mean is $5$, what is the standard deviation?

Q5. यदि प्रेक्षणों کے वर्गों का योग $400$ है, प्रेक्षणों की संख्या $10$ है, और माध्य $5$ है, तो मानक विचलन क्या है?

(A) $\sqrt{15}$(A) $\sqrt{15}$

(B) $\sqrt{25}$(B) $\sqrt{25}$

(D) $\sqrt{45}$(D) $\sqrt{45}$

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: $\sigma = \sqrt{\frac{\sum x^2}{N} - (\bar{x})^2} = \sqrt{\frac{400}{10} - (5)^2} = \sqrt{40 - 25} = \sqrt{15}$.

चरण-दर-चरण हल: $\sigma = \sqrt{\frac{\sum x^2}{N} - (\bar{x})^2} = \sqrt{\frac{400}{10} - (5)^2} = \sqrt{40 - 25} = \sqrt{15}$।

Topper's Shortcut: Use raw score formula directly: Mean square minus square of mean.

टॉपर शॉर्टकट: कच्चे स्कोर सूत्र का सीधे उपयोग करें: माध्य का वर्ग माध्य माइनस माध्य का वर्ग।

Q6. Between two series A and B, if $\text{CV}_A = 45\%$ and $\text{CV}_B = 65\%$, which series is more consistent?

Q6. दो श्रृंखलाओं A और B के बीच, यदि $\text{CV}_A = 45\%$ और $\text{CV}_B = 65\%$ है, तो कौन सी श्रृंखला अधिक सुसंगत है?

(A) Series A(A) श्रृंखला A

(B) Series B(B) श्रृंखला B

(D) Cannot be determined(D) निर्धारित नहीं किया जा सकता

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Lower CV implies higher consistency and lesser variability. Since $\text{CV}_A < \text{CV}_B$, Series A is more consistent.

चरण-दर-चरण हल: कम CV उच्च सुसंगतता और कम परिवर्तनशीलता को दर्शाता है। चूकि $\text{CV}_A < \text{CV}_B$, श्रृंखला A अधिक सुसंगत है।

Topper's Shortcut: Lower CV = Winner in consistency.

टॉपर शॉर्टकट: कम CV = सुसंगतता में विजेता।

Q7. What is the standard deviation of a constant series $5, 5, 5, 5, 5$?

Q7. एक स्थिर श्रृंखला $5, 5, 5, 5, 5$ का मानक व��चलन क्या है?

(A) $5$(A) $5$

(B) $25$(B) $25$

(D) $1$(D) $1$

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Correct Option: (C)सही विकल्प: (C)

Step-by-Step Solution: Since all values are identical, deviation from the mean is zero for every term. Thus, variance and standard deviation are both zero.

चरण-दर-चरण हल: चूकि सभी मान समान हैं, माध्य से विचलन प्रत्येक पद के लिए शून्य है। अतः प्रसरण और मानक विचलन दोनों शून्य हैं।

Topper's Shortcut: No variation in data means SD is always zero.

टॉपर शॉर्टकट: डेटा में कोई परिवर्तन नहीं होने का मतलब है कि SD हमेशा शून्य होता है।

Q8. If the variance of a dataset is $144$, what is its standard deviation?

Q8. यदि किसी डेटासेट का प्रसरण $144$ है, तो इसका मानक विचलन क्या है?

(A) $12$(A) $12$

(B) $-12$(B) $-12$

(D) $144$(D) $144$

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Standard deviation is defined as the positive square root of variance. Thus, $\sqrt{144} = +12$.

चरण-दर-चरण हल: मानक विचलन को प्रसरण के धनात्मक वर्��मूल के रूप में परिभाषित किया गया है। अतः $\sqrt{144} = +12$।

Topper's Shortcut: Standard deviation is always non-negative by definition.

टॉपर शॉर्टकट: परिभाषा के अनुसार मानक विचलन हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है।

Q9. If each value of a series is increased by $10$, what is the effect on the standard deviation?

Q9. यदि किस�� श्रृंखला के प्रत्येक मान में $10$ की वृद्धि की जाती है, तो मानक विचलन पर क्या प्रभाव पड़ता है?

(A) Increases by 10(A) 10 बढ़ जाता है

(B) Remains unchanged(B) अपरिवर्तित रहता है

(D) Divided by 10(D) 10 से विभाजित हो जाता ��ै

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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: Standard deviation is independent of change of origin. Adding a constant to all values shifts the distribution without altering its spread.

चरण-दर-चरण हल: मानक विचलन मूल परिवर्तन से स्वतंत्र होता है�� सभी मानों में एक स्थिरांक जोड़ने से इसके फैलाव को बदले बिना वितरण स्थानांतरित हो जाता है।

Topper's Shortcut: Addition/subtraction $\rightarrow$ No change in SD. Multiplication/division $\rightarrow$ SD changes.

टॉपर शॉर्टकट: जोड़ना/घटाना $\rightarrow$ SD में कोई बदलाव नहीं। गुणा/भाग $\rightarrow$ SD बदलता है।

Q10. If the coefficient of variation is $50\%$ and standard deviation is $12$, find the arithmetic mean.

Q10. यदि विचरण गुणांक $50\%$ है और मानक विचलन $12$ है, तो अंकगणितीय माध्य ज्ञात कीजिए।

(A) $12$(A) $12$

(B) $18$(B) $18$

(D) $6$(D) $6$

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Correct Option: (C)सही विकल्प: (C)

Step-by-Step Solution: $\text{CV} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \implies 50 = \frac{12}{\bar{x}} \times 100 \implies \bar{x} = \frac{12 \times 100}{50} = 24$.

चरण-दर-चरण हल: $\text{CV} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \implies 50 = \frac{12}{\bar{x}} \times 100 \implies \bar{x} = \frac{12 \times 100}{50} = 24$।

Topper's Shortcut: Since CV is $50\%$ ($\frac{1}{2}$), the mean is double the standard deviation ($12 \times 2 = 24$).

टॉपर शॉर्टकट: चूंकि CV $50\%$ ($\frac{1}{2}$) है, माध्य मानक विचलन का दोगुना है ($12 \times 2 = 24$)।

5. Previous Year Questions (PYQs)5. पिछले वर्षों के प्रश्न (PYQs)

Q1. (SSC CGL PYQ) If the standard deviation of a sample is $4$, what is the variance?

Q1. (SSC CGL PYQ) यदि किसी प्रतिदर्श का मानक विचलन $4$ है, तो प्रसरण क्या है?

(A) $2$(A) $2$

(B) $8$(B) $8$

(D) $4$(D) $4$

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Correct Option: (C)सही विकल्प: (C)

Step-by-Step Solution: Variance is the square of standard deviation ($\sigma^2$). Here $\sigma = 4$, so variance $= 4^2 = 16$.

चरण-दर-चरण हल: प्रसरण मानक विचलन का वर्ग है ($\sigma^2$)। यहाँ $\sigma = 4$ है, इसलिए प्रसरण $= 4^2 = 16$।

Topper's Shortcut: Square the given SD directly to get variance.

टॉपर शॉर्टकट: प्रसरण प्राप्त करने کے लिए दिए गए SD का सीधे वर्ग करें।

Q2. (SSC CGL PYQ) The mean of 5 observations is 7 and their variance is 8. If each observation is multiplied by 2, what is the new variance?

Q2. (SSC CGL PYQ) 5 प्रेक्षणों का माध्य 7 है और उनका प्रसरण 8 है। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को 2 से गुणा किया जाए, तो नया प्रसरण क��या है?

(A) $16$(A) $16$

(B) $32$(B) $32$

(D) $64$(D) $64$

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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: When each observation is multiplied by $k$, new variance $= k^2 \times \text{Old Variance}$. Here $k = 2$, so new variance $= 2^2 \times 8 = 4 \times 8 = 32$.

चरण-दर-चरण हल: जब प्रत्येक प्रेक्षण को $k$ से गुणा किया जाता है, तो नया प्रसरण $= k^2 \times \text{पुराना प्रसरण}$ होता है। यहाँ $k = 2$ है, इसलिए नया प्रसरण $= 2^2 \times 8 = 4 \times 8 = 32$।

Topper's Shortcut: Multiply old variance by $2^2 = 4$.

टॉपर शॉर्टकट: पुराने प्रसरण को $2^2 = 4$ से गुणा करें।

Q3. (SSC CGL PYQ) Which measure of dispersion is independent of the unit of measurement?

Q3. (SSC CGL PYQ) अपकीर्ण का कौन सा माप मापन की इकाई से स्वतंत्र है?

(A) Standard Deviation(A) मानक विचलन

(B) Variance(B) प्रसरण

(D) Mean Deviation(D) माध्य विचलन

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Correct Option: (C)सही विकल्प: (C)

Step-by-Step Solution: Coefficient of variation is a relative measure expressed as a percentage, making it completely unit-free.

चरण-दर-चरण हल: विचरण गुणांक प्रतिशत के रूप में व्यक्त एक सापेक्ष माप है, जो इसे पूरी तरह से इकाई-मुक्त बनाता है।

Topper's Shortcut: Relative measures (coefficients) have no units.

टॉपर शॉर्टकट: सापेक्ष मापों (��ुणांकों) की कोई इकाई नहीं होती है।

Q4. (SSC CGL PYQ) If the standard deviation of $x, x+2, x+4, x+6, x+8$ is $2$, what is the standard deviation of $x, x+3, x+6, x+9, x+12$?

Q4. (SSC CGL PYQ) यदि $x, x+2, x+4, x+6, x+8$ का मानक विचलन $2$ है, तो $x, x+3, x+6, x+9, x+12$ का मानक विचलन क्या है?

(A) $2$(A) $2$

(B) $3$(B) $3$

(D) $5$(D) $5$

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Correct Option: (B)सही विकल्प: (B)

Step-by-Step Solution: The first series is an AP with common difference $d_1 = 2$, and its SD is $2$. The second series has common difference $d_2 = 3$. Since SD is directly proportional to the common difference of an AP, new SD $= 2 \times \frac{3}{2} = 3$.

चरण-दर-चरण हल: पहली श्रृंखला सार्वअंतर $d_1 = 2$ वाली समांतर श्रेणी है, और इसका SD $2$ है। दूसरी श्रृंखला का सार्वअंतर $d_2 = 3$ है। चूकि SD समांतर श्रेणी کے सार्वअंतर के समानुपाती होता है, नया SD $= 2 \times \frac{3}{2} = 3$।

Topper's Shortcut: For an AP, $\sigma = d \times K$. Since $d$ changes from 2 to 3, SD scales in the ratio $3:2$.

टॉपर शॉ��्टकट: समांतर श्रेणी के लिए, $\sigma = d \times K$। चूकि $d$, 2 से 3 हो जाता है, SD $3:2$ के अनुपात में बदलता है।

Q5. (SSC CGL PYQ) If sum of values is $50$, number of items is $10$, and sum of squared values is $300$, find the variance.

Q5. (SSC CGL PYQ) यदि मानों का योग $50$ है, मदों की संख्या $10$ है, और वर्गित मानों का योग $300$ है, तो प्रसरण ज्ञात कीजिए।

(A) $5$(A) $5$

(B) $25$(B) $25$

(D) $\sqrt{5}$(D) $\sqrt{5}$

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Mean $\bar{x} = \frac{50}{10} = 5$. Variance $\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{N} - (\bar{x})^2 = \frac{300}{10} - (5)^2 = 30 - 25 = 5$.

चरण-दर-चरण हल: माध्य $\bar{x} = \frac{50}{10} = 5$। प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{N} - (\bar{x})^2 = \frac{300}{10} - (5)^2 = 30 - 25 = 5$।

Topper's Shortcut: $\sigma^2 = \frac{300}{10} - 5^2 = 30 - 25 = 5$ directly.

टॉपर शॉर्टकट: सीधे $\sigma^2 = \frac{300}{10} - 5^2 = 30 - 25 = 5$।

Q6. (SSC CGL PYQ) The sum of deviations of $n$ observations from their mean is always:

Q6. (SSC CGL PYQ) $n$ प्रेक्षणों کے उनके माध्य سے विचलनों کا योग हमेशा होता है:

(A) 1(A) 1

(B) Infinite(B) अनंत

(D) Dependent on $n$(D) $n$ पर निर्भर

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Correct Option: (C)सही विकल्प: (C)

Step-by-Step Solution: By definition of arithmetic mean, $\sum (x - \bar{x}) = 0$.

चरण-दर-चरण हल: अंकगणितीय माध्य की परिभाषा के अनु��ार, $\sum (x - \bar{x}) = 0$ होता है।

Topper's Shortcut: Standard algebraic property: algebraic sum of deviations from mean is always 0.

टॉपर शॉर्टकट: मानक बीजगणितीय गुण: माध्य से विचलनों का बीजगणितीय योग हमेशा 0 होता है।

Q7. (SSC CGL PYQ) If $\sigma = 6$ and $\bar{x} = 24$, find the coefficient of standard deviation.

Q7. (SSC CGL PYQ) यदि $\sigma = 6$ और $\bar{x} = 24$ है, तो मानक विचलन गुणांक ज्ञात कीजिए।

(A) $0.25$(A) $0.25$

(B) $0.50$(B) $0.50$

(D) $0.75$(D) $0.75$

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Coefficient of standard deviation is $\frac{\sigma}{\bar{x}} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0.25$.

चरण-दर-चरण हल: मानक विचलन गुणांक $\frac{\sigma}{\bar{x}} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0.25$ है।

Topper's Shortcut: $\frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0.25$. Note: CV multiplies this by 100.

टॉपर शॉर्टकट: $\frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0.25$। ध्यान दें: CV इसे 100 से गुणा करता है।

Q8. (SSC CGL PYQ) Which of the following is true for a symmetrical distribution?

Q8. (SSC CGL PYQ) सममित वितरण کے لیے निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

(A) $\text{Mean} = \text{Median} = \text{Mode}$(A) $\text{माध्य} = \text{माध्यिका} = \text{बहुलक}$

(B) $\text{SD} = 0$(B) $\text{SD} = 0$

(D) Variance is negative(D) प्रसरण ऋणात्मक है

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: By definition, in a perfectly symmetrical distribution, Mean, Median, and Mode coincide and are equal.

चरण-��र-चरण हल: परिभाषा के अनुसार, एक पूर्णतः सममित वितरण में, माध्य, माध्यिका और बहुलक संपाती होते हैं और बराबर होते हैं।

Topper's Shortcut: Symmetry implies central measures are identical.

टॉपर शॉर्टकट: समरूपता का तात्पर्य है कि केंद्रीय माप समान हैं।

Q9. (SSC CGL PYQ) If the coefficient of variation is $40\%$ and mean is $15$, find the standard deviation.

Q9. (SSC CGL PYQ) यदि विचरण गुणांक $40\%$ है और माध्य $15$ है, तो मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

(A) $4$(A) $4$

(B) $5$(B) $5$

(D) $8$(D) $8$

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Correct Option: (C)सही विकल्प: (C)

Step-by-Step Solution: $\text{CV} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \implies 40 = \frac{\sigma}{15} \times 100 \implies \sigma = \frac{40 \times 15}{100} = 6$.

चरण-दर-चरण हल: $\text{CV} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \implies 40 = \frac{\sigma}{15} \times 100 \implies \sigma = \frac{40 \times 15}{100} = 6$।

Topper's Shortcut: $\sigma = \frac{\text{CV} \times \text{Mean}}{100} = \frac{40 \times 15}{100} = 6$.

टॉपर शॉर्टकट: $\sigma = \frac{\text{CV} \times \text{Mean}}{100} = \frac{40 \times 15}{100} = 6$।

Q10. (SSC CGL PYQ) Why is standard deviation considered the best measure of dispersion?

Q10. (SSC CGL PYQ) मानक विचलन को अपकीर्ण का सर्वोत्तम माप क्यों माना जाता है?

(A) It is based on all observations and uses algebraic signs mathematically.(A) यह सभी प्रेक्षणों पर आधारित है और गणितीय रूप से बीजगणितीय चिन्हों का उपयोग करता है।

(B) It is easiest to calculate.(B) इसकी गणना करना सबसे आसान है।

(D) It is a relative measure.(D) यह एक साप��क्ष माप है।

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Correct Option: (A)सही विकल्प: (A)

Step-by-Step Solution: Standard deviation possesses almost all mathematical properties required for rigorous statistical analysis, uses every single data point, and accounts for algebraic signs via squaring.

चरण-दर-चरण हल: मानक विचलन में क��ोर सांख्यिकी विश्लेषण के लिए आवश्यक लगभग सभी गणितीय गुण हैं, यह प्रत्येक डेटा बिंदु का उपयोग करता है, और वर्ग के माध्यम से बीजगणितीय चिन्हों का हिसाब रखता है।

Topper's Shortcut: Mathematical rigor + utilization of all data points = Best dispersion measure.

टॉपर शॉर्टकट: गणितीय कठोरता + सभी डेटा बिंदुओं का उपयोग = सर्वोत्तम अपकीर्ण माप।

PYQ Trend Analysis TablePYQ प्रवृत्ति विश्लेषण तालिका

Exam Year / Tierपरीक्षा वर्ष / टियर	Core Topic Testedपरीक्षण किया गया मुख्य विषय	Difficulty Levelकठिनााई स्तर
SSC CGL Paper-III (Recent)एसएससी सीजीएल पेपर-III (हालिया)	Coefficient of Variation & Consistencyविचरण गुणांक और सुसंगतता	Moderate to Advancedमध्यम से उन्नत
SSC CGL Tier-2 (Quant / Stats)एसएससी सीजीएल टियर-2 (क्वांट / स्टेट्स)	Properties of SD (Change of Origin/Scale)SD के गुण (मूल/पैमाने का परिवर्तन)	Moderateमध्यम
SSC CGL Paper-III (Previous)एसएससी सीजीएल पेपर-III (पिछला)	Combined Variance & Raw Score Formulaसंयुक्त प्रसरण और कच्चा स्कोर सूत्र	Advancedउन्नत