Arithmetic: Percentage Arithmetic: Percentage (गणित)

Solve percentage increases, successive changes, and exam-passing marks in seconds. प्रतिशत वृद्धि, क्रमिक परिवर्तन, और परीक्षा उत्तीर्ण अंकों को सेकंड में हल करें।

1. Core Percentage Conversions & Fraction Hacks 📊1. मुख्य प्रतिशत रूपांतरण और भिन्न हैक्स 📊

Percentage literally means "per hundred" (out of 100). The most powerful shortcut in percentage calculation is converting percentages into fractions to simplify arithmetic calculations instantly. प्रतिशत का शाब्दिक अर्थ है "प्रति सौ" (100 में से)। प्रतिशत गणना में सबसे शक्तिशाली शॉर्टकट अंकगणितीय गणनाओं को तुरंत सरल बनाने के लिए प्रतिशत को भिन्नों में बदलना है।

mindmap
  root(("Percentage Mastery"))
    "Fractions Table"
      "1/2 = 50%"
      "1/3 = 33.33%"
      "1/4 = 25%"
      "1/5 = 20%"
    "Core Models"
      "Price vs Consumption"
      "Successive Changes"
      "Election and Votes"
      "Exam Passing Marks"
      "Population and Growth"
      "Income Splits"

2. Essential Fraction-to-Percentage Conversions 📏2. आवश्यक भिन्न-से-प्रतिशत रूपांतरण 📏

Fraction (भिन्न) Percentage (En) प्रतिशत (Hi)
1/250%50%
1/333.33%33.33%
1/425%25%
1/520%20%
1/616.66%16.66%
1/812.5%12.5%

Type 1: Price and Consumption Product Stabilityटाइप 1: मूल्य और खपत उत्पाद स्थिरता

💡 Trick to Solve: If the price of an item increases by x%, the consumption must be reduced by [x / (100 + x)] × 100% to keep the total expenditure same. If the price decreases by x%, increase consumption by [x / (100 - x)] × 100%.💡 हल करने की ट्रिक: यदि किसी वस्तु के मूल्य में x% की वृद्धि होती है, तो कुल खर्च समान रखने के लिए खपत में कमी = [x / (100 + x)] × 100% होनी चाहिए। यदि मूल्य में x% की कमी होती है, तो खपत में वृद्धि = [x / (100 - x)] × 100% होगी।

Example: The price of petrol rises by 20%. By what percent should a motorist reduce consumption so as not to increase expenditure? उदाहरण: पेट्रोल की कीमत में 20% की वृद्धि होती है। एक मोटर चालक को खपत में कितने प्रतिशत की कमी करनी चाहिए ताकि खर्च में कोई वृद्धि न हो?

🕵️‍♂️ Step 1: Identify price increase rate: x = 20.🕵️‍♂️ चरण 1: मूल्य वृद्धि दर की पहचान करें: x = 20।
🛠️ Step 2: Apply the formula: [20 / (100 + 20)] * 100 = (20/120) * 100.🛠️ चरण 2: सूत्र लागू करें: [20 / (100 + 20)] * 100 = (20/120) * 100
Step 3: Calculate: 1/6 * 100 = 16.67%.चरण 3: गणना करें: 16.67% की कमी।

Type 2: Successive Percentage Changes (Net Effect)टाइप 2: क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन (शुद्ध प्रभाव)

💡 Trick to Solve: If a value is changed by a% and then successively by b%, the net percentage change is given by the formula: [a + b + (ab/100)]%. (Use positive sign for increase, negative for decrease).💡 हल करने की ट्रिक: यदि किसी मान में पहले a% और फिर क्रमिक रूप से b% का परिवर्तन होता है, तो कुल प्रतिशत परिवर्तन का सूत्र है: [a + b + (ab/100)]%। (वृद्धि के लिए धनात्मक और कमी के लिए ऋणात्मक चिह्न का प्रयोग करें)।

Example: A shopkeeper increases the price of an article by 10% and then offers a discount of 10%. Find the net profit or loss percent. उदाहरण: एक दुकानदार किसी वस्तु की कीमत में 10% की वृद्धि करता है और फिर 10% की छूट देता है। कुल लाभ या हानि प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

🕵️‍♂️ Step 1: Identify changes: Increase a = +10, Discount (Decrease) b = -10.🕵️‍♂️ चरण 1: परिवर्तनों की पहचान करें: वृद्धि a = +10, छूट (कमी) b = -10।
🛠️ Step 2: Substitute in formula: [10 - 10 + (10 * -10)/100] = 0 - 100/100 = -1%.🛠️ चरण 2: सूत्र में मान रखें: [10 - 10 + (10 * -10)/100] = -1%
Step 3: The negative sign represents a 1% net loss.चरण 3: ऋणात्मक चिह्न 1% की शुद्ध हानि को दर्शाता है।

Type 3: Exam Passing Marks Modelटाइप 3: परीक्षा उत्तीर्ण अंक मॉडल

💡 Trick to Solve: Equate the passing marks equation from both students: Candidate 1 Marks + Failing Marks = Candidate 2 Marks - Excess Marks.💡 हल करने की ट्रिक: दोनों उम्मीदवारों से उत्तीर्ण अंकों के समीकरण को बराबर करें: उम्मीदवार 1 के अंक + अनुत्तीर्ण अंक = उम्मीदवार 2 के अंक - अतिरिक्त अंक

Example: A student gets 30% marks and fails by 10 marks. Another student gets 40% marks and gets 15 marks more than passing marks. Find the maximum marks. उदाहरण: एक छात्र को 30% अंक मिलते हैं और वह 10 अंकों से अनुत्तीर्ण हो जाता है। दूसरे छात्र को 40% अंक मिलते हैं और वह उत्तीर्ण अंकों से 15 अंक अधिक प्राप्त करता है। अधिकतम अंक ज्ञात कीजिए।

🕵️‍♂️ Step 1: Difference in percentage marks = 40% - 30% = 10%.🕵️‍♂️ चरण 1: प्रतिशत अंकों का अंतर = 40% - 30% = 10%।
🛠️ Step 2: Difference in absolute marks = 10 (failing deficit) + 15 (excess) = 25 marks.🛠️ चरण 2: वास्तविक अंकों का अंतर = 10 (कमी) + 15 (अतिरिक्त) = 25 अंक।
Step 3: Since 10% of Maximum Marks = 25, then Maximum Marks (100%) = 250 marks.चरण 3: चूंकि 10% = 25 है, इसलिए अधिकतम अंक (100%) = 250 अंक होगा।

Type 4: Election / Voters Modelटाइप 4: चुनाव / मतदाता मॉडल

💡 Trick to Solve: Winner's votes % - Loser's votes % = Margin % of Total Votes. If there are invalid votes, first subtract them from the total.💡 हल करने की ट्रिक: विजेता के मतों का % - हारने वाले के मतों का % = कुल मतों का अंतर %. यदि अवैध मत हैं, तो पहले उन्हें कुल में से घटाएं।

Example: In an election between two candidates, the winner got 60% of the total votes cast and won by a margin of 1200 votes. Find the total number of votes cast. उदाहरण: दो उम्मीदवारों के बीच एक चुनाव में, विजेता को डाले गए कुल मतों का 60% प्राप्त हुआ और वह 1200 मतों के अंतर से जीता। डाले गए मतों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।

🕵️‍♂️ Step 1: Winner gets 60%. Therefore, Loser gets: 100% - 60% = 40%.🕵️‍♂️ चरण 1: विजेता को 60% प्राप्त होता है। इसलिए, हारने वाले को: 100% - 60% = 40% प्राप्त होता है।
🛠️ Step 2: Margin % = 60% - 40% = 20%. We are given 20% of total votes = 1200.🛠️ चरण 2: अंतर % = 60% - 40% = 20%। हमें दिया गया है कुल मतों का 20% = 1200।
Step 3: Total votes (100%) = 1200 * (100 / 20) = 6000 votes.चरण 3: कुल मत (100%) = 1200 * (100 / 20) = 6000 मत

Type 5: Population / Growth Modelटाइप 5: जनसंख्या / वृद्धि मॉडल

💡 Trick to Solve: Growth uses the compound formula: P_new = P_old × (1 + R/100)^n. Depreciation uses: P_new = P_old × (1 - R/100)^n.💡 हल करने की ट्रिक: वृद्धि के लिए चक्रवृद्धि सूत्र का उपयोग होता है: P_new = P_old × (1 + R/100)^n। मूल्यह्रास के लिए: P_new = P_old × (1 - R/100)^n

Example: The population of a town increases by 10% annually. If its current population is 20,000, find its population after 2 years. उदाहरण: एक शहर की जनसंख्या में प्रतिवर्ष 10% की वृद्धि होती है। यदि इसकी वर्तमान जनसंख्या 20,000 है, तो 2 वर्ष बाद इसकी जनसंख्या ज्ञात कीजिए।

🕵️‍♂️ Step 1: P = 20,000, R = 10, n = 2.🕵️‍♂️ चरण 1: P = 20,000, R = 10, n = 2।
🛠️ Step 2: Setup: 20,000 * (1 + 10/100)² = 20,000 * (1.1)².🛠️ चरण 2: सेटअप: 20,000 * (1 + 10/100)² = 20,000 * (1.1)²
Step 3: Calculate: 20,000 * 1.21 = 24,200.चरण 3: गणना करें: 20,000 * 1.21 = 24,200

Type 6: Income and Expenditure Split (Remainder Model)टाइप 6: आय और व्यय विभाजन (शेष मॉडल)

💡 Trick to Solve: If a person spends x% on first, and y% of the remaining on second, the saving fraction is: Total × (100 - x)/100 × (100 - y)/100.💡 हल करने की ट्रिक: यदि कोई व्यक्ति पहले पर x% खर्च करता है, और शेष का y% दूसरे पर खर्च करता है, तो बचत का अंश है: कुल × (100 - x)/100 × (100 - y)/100.

Example: A man spends 20% of his income on rent and 30% of the remaining on food. If he saves ₹5,600, find his total income. उदाहरण: एक व्यक्ति अपनी आय का 20% किराए पर और शेष का 30% भोजन पर खर्च करता है। यदि वह ₹5,600 बचाता है, तो उसकी कुल आय ज्ञात कीजिए।

🕵️‍♂️ Step 1: Remaining fraction after rent = 100% - 20% = 80% (or 4/5).🕵️‍♂️ चरण 1: किराए के बाद शेष अंश = 100% - 20% = 80% (या 4/5)
🛠️ Step 2: Remaining fraction after food = 80% × (100 - 30)/100 = 80% × 70% = 56%.🛠️ चरण 2: भोजन के बाद शेष अंश = 80% × (100 - 30)/100 = 56%
Step 3: Equate: 56% of income = ₹5,600 => Income = ₹10,000.चरण 3: बराबर करें: आय का 56% = ₹5,600 => कुल आय = ₹10,000